2022年平面向量的概念及线性运算 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载 5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有 _又有 _的量;向量的大小叫做向量的 _(或称 _)平面向量是自由向量零向量长度为 _的向量;其方向是任意的记作 _ 单位向量长度等于 _的向量非零向量a 的单位向量为 a|a|平行向量方向 _或_的非零向量0 与任一向量 _或共线共线向量_的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 _且方向 _的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度 _且方向 _的向量0 的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:ab_.(2)结合律:(ab)c_.
2、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b的差_法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|_;(2)当 0 时,a 的方向与a 的方向 _;当|b|,则 ab;(2)若|a|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反;(3)若|a|b|,且 a 与 b 方向相同,则ab;(4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;(5)若向量 a 与向量 b平行,则向量a 与 b 的方向相同或相反;(6)若向量 AB与向量 CD是共线向量,则A,B,C,D 四点在一
3、条直线上;(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例 2在 ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且GB2GE,设ABa,ACb,试用 a,b 表示AD,AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 14 页 -学习好
4、资料欢迎下载在 ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设 ABa,ACb,试用 a,b 表示AG.题型三平面向量的共线问题例 3设两个非零向量a与 b 不共线,(1)若ABab,BC2a8b,CD3(ab),求证:A、B、D 三点共线;(2)试确定实数k,使 kab 和 akb 共线.探究提高(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量 a、b共线是指存在不全为零的实数1,2,使 1a2b0 成立,若 1a2b0,当且仅当120 时成立,则向量a、b不共线.如图
5、所示,ABC 中,在 AC 上取一点 N,使得 AN13AC,在 AB 上取一点 M,使得 AM13AB,在 BN 的延长线上取点P,使得 NP12BN,在 CM 的延长线上取点Q,使得 MQ CM时,APQA,试确定 的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题:(14 分)如图所示,在ABO 中,OC14OA,OD12OB,AD 与 BC 相交于点 M,设OAa,OBb.试用 a 和 b表示向量 OM.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然 OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OMmanb.(3)利用共
6、线定理建立方程,用方程的思想求解.规范解答解设OMmanb,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载则AMOMOAmanba(m1)anb.ADODOA12OBOAa12b.3 分 又A、M、D 三点共线,AM与AD共线.存在实数t,使得 AMtAD,即(m1)anbt a12b.5 分(m1)anbta12tb.m1tnt2,消去 t 得,m1 2n,即 m2n1.7 分 又CMOMOCmanb14a m14anb,CBOBOCb14a14ab.又C、M、B 三点共线,CM与CB共线.10 分 存在实数t1,使得 CMt1CB,m14anb
7、t114ab,m1414t1nt1,消去 t1得,4mn1.12 分 由得 m17,n37,OM17a37b.14 分 批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.(2)学生的易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
8、精心整理-第 5 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如ABCD且 AB 与 CD 不共线,则ABCD;若ABBC,则 A、B、C 三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 14 页 -学
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