2022年微分算子法实用整理总结 .pdf
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1、微分算子法微分算子法分类小结一、n 阶微分方程1、二阶微分方程:22dydx+p(x)xddy+q(x)y=f(x)2、n 阶微分方程:y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+.+any=f(x)二、微分算子法1、定义符号:Dx=dd,D 表示求导,如 Dx3=3x2,Dny 表示 y 对 x 求导 n 次;D1表示积分,如D1x=x212,nD1x 表示对 x 积分 n 次,不要常数。2、计算将 n 阶微分方程改写成下式:Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+.+an-1Dy+any=f(x)即(Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+.+a
2、n-1D+an)y=f(x)记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+.+an-1D+an 规定特解:y*=)(F(D)1xf3、F(D)1的性质(1)性质一:F(D)1ekx=F(k)1ekx(F(k)不等于 0)注:若 k 为特征方程的 m 重根时,有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 7 页 -F(D)1ekx=xm(D)F1(m)ekx=xm(k)F1(m)ekx(2)性质二:F(D)1ekxv(x)=ekxk)F(D1+v(x)(3)性质三:特解形如F(D)1sin(ax)和F(D)1cos(ax)i.考察该式(该种形式万能解法):F(D)
3、1eiax 利用性质一和二解出结果,并取相应的虚部和实部作为原方程的特解注:欧拉公式eiax=cos(ax)+i sin(ax)虚数i2=-1ii.若特解形如)F(D12sin(ax)和)F(D12cos(ax),也可按以下方法考虑:若 F(-a2)0,则)F(D12sin(ax)=)F(-a12sin(ax)F(D12cos(ax)=)F(-a12cos(ax)若 F(-a2)=0,则按 i.进行求解,或者设-a2为F(-a2)的 m 重根,则)F(D12sin(ax)=xm)(DF12(m)sin(ax)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 7 页 -)F(D12c
4、os(ax)=xm)(DF12(m)cos(ax)(4)性质四(多项式):F(D)1(xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp)=Q(D)(xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp)注:Q(D)为商式,按 D 的升幂排列,且 D 的最高次幂为 p。(5)性质五(分解因式):)(F(D)1xf=)()(F(D)F121xfD?=)()(F(D)F112xfD?(6)性质六:)()(F(D)121xfxf+=)(F(D)1)(F(D)121xfxf+三、例题练习例 1.22dydx+4y=ex则(D2+4)y=ex,特解y*=412+Dex=4112+ex=51ex(性
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