2022年山东专升本高等数学二重积分[参 .pdf
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1、第九章二重积分【考试要求】1理解二重积分的概念、性质及其几何意义2掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法【考试内容】一、二重积分的相关概念1二重积分的定义设(,)f x y是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域1,2,n,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积在每个i上 任 取 一 点(,)ii,作 乘 积(,)iiif(1,2,in),并 作 和1(,)niiiif如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数(,)f x y在闭区域D上的二重积分,记作(,)Df x y d,即01(,)lim(,)niiiiDf x y df其中(,
2、)f x y叫做被积函数,(,)f x y d叫做被积表达式,d叫做面积元素,x与y叫做积分变量,D叫做积分区域,1(,)niiiif叫做积分和说 明:在 直 角 坐 标 系 中,有 时 也 把 面 积 元 素d记 作dxdy,而 把 二 重 积 分 记 作(,)Df x y dxdy,其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素2二重积分的几何意义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 12 页 -一般地,如果(,)0f x y,被积函数(,)f x y可解释为曲顶柱体的顶在点(,)x y处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积如果(,)f x y是负的,柱体就在
3、xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的如果(,)f x y在D的若干部分区域上是正的,而在其他的部分区域上是负的,那么(,)f x y在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差3二重积分的性质(1)设、为常数,则(,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y df x y dg x y d(2)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域1D和2D,则12(,)(,)(,)DDDf x y df x y df x y d(3)如果在D上,(,)1f
4、x y,为D的面积,则1DDdd(4)如果在D上,(,)(,)f x yx y,则有(,)(,)DDf x y dx y d特殊地,由于(,)(,)(,)f x yf x yf x y,故又有(,)(,)DDf x y df x y d(5)设M、m分别是(,)f x y在闭区域D上的最大值和最小值,是D的面积,则有(,)Dmf x y dM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 12 页 -(6)(二重积分的中值定理)设函数(,)f x y在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点(,),使得(,)(,)Df x y df二、二重积分的计算(一)利用直角坐标计算
5、二重积分1X型积分区域X型积分区域是指积分区域D可以用不等式axb,12()()xyx来表示的闭区域,其中函数1()x、2()x在区间,a b上连续此时二重积分可化为如下二次积分的形式:21()()(,)(,)bxaxDf x y df x y dy dx,这个先对y、后对x的二次积分也常记作如下形式:21()()(,)(,)bxaxDf x y ddxf x y dy2Y型积分区域Y型积分区域是指积分区域D可以用不等式cyd,12()()yxy来表示的闭区域,其中函数1()y、2()y在区间,c d上连续此时二重积分可化为如下二次积分的形式:21()()(,)(,)dycyDf x y df
6、 x y dx dy,这个先对x、后对y的二次积分也常记作如下形式:21()()(,)(,)dycyDf x y ddyf x y dx(二)利用极坐标计算二重积分要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标,只要把被积函数中的x、y分别换成cos、sin,并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的dd这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下:名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 12 页 -(,)(cos,sin)DDf x y dxdyfdd假设积分区域D可以用不等式,12()()来表示,其中1()、2()在区间,上连续此时极坐标系中的二重积分化为二次
7、积分的公式为:21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfddfdd这个先对、后对的二次积分也常记作如下形式:21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd【典型例题】【例 9-1】计算Dxyd,其中D是由直线1y、2x及yx所围成的闭区域解法 1:积分区域D可看作X型区域,12x,1yx,故2322211111()222xxDyxxxyddxxydyxdxdx24219848xx解法 2:积分区域D可看作Y型区域,12y,2yx,故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 12 页 -2232222111(2)22yDyxyxyddyxydxydy
8、ydy2421988yy【例 9-2】求221Dyxy d,其中D是由直线yx、1x及1y所围成的闭区域解:将积分区域D看作X型区域,11x,1xy,故13111222222211111(1)3xDxyxy ddxyxy dyxydx1411331001221(1)(1)33342xxdxxdxx说明:此题若把积分区域D看作Y型区域,11y,1xy,就有122221111yDyxy ddyyxy dx,其中关于x的积分计算比较麻烦,所以此题把积分区域D看作X型区域求解【例 9-3】求Dxyd,其中D是由抛物线2yx及直线2yx所围成的闭区域解:将积分区域D看作Y型区域,因抛物线2yx和直线2y
9、x的交点坐标为(1,1)和(4,2),故12y,22yxy,22222222251111(2)22yyyDyxxyddyxydxydyy yydy2463211445224368yyyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 12 页 -说明:此题若把积分区域D看作X型区域,则要用经过交点(1,1)且平行于y轴的直线1x把区域D分成1D和2D两部分,其中1(,)01,Dx yxxyx,2(,)14,2Dx yxxyx因此根据二重积分对积分区域的可加性,就有12DDDxydxydxyd14012xxxxdxxydydxxydy由此可见,此题把积分区域D看作X型区域来计算较为
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