各地2018年中考数学试卷精选汇编等腰三角形pdf含解析.pdf
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1、等腰三角形等腰三角形 一、选择题一、选择题 1(2018山东枣庄3 分)如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形,线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点 P 是某个小矩形的顶点,连接 PA、PB,那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是()A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论【解答】解:如图所示,使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3,故选:B 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定,正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键 2(2018山东枣庄3 分)如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB,垂足为 D,AF 平分
2、CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F若 AC=3,AB=5,则 CE 的长为()A B C D【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90,FAD+AED=90,根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE,即可得出 EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解:过点 F 作 FGAB 于点 G,ACB=90,CDAB,CDA=90,CAF+CFA=90,FAD+AED=90,AF 平分CAB,CAF=FAD,CFA=AED=CEF,CE=CF,AF 平分CAB,ACF=AGF=90,FC=FG,B=B,FGB=ACB=90,BFGBAC,=,AC=3,AB=5
3、,ACB=90,BC=4,=,FC=FG,=,解得:FC=,即 CE 的长为 故选:A 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识,关键是推出CEF=CFE 3.(2018山东淄博4 分)如图,P 为等边三角形 ABC 内的一点,且 P 到三个顶点 A,B,C的距离分别为 3,4,5,则ABC 的面积为()A B C D【考点】R2:旋转的性质;KK:等边三角形的性质;KS:勾股定理的逆定理【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA,根据旋转的性质得 BE=BP=4,AE=PC=5,PBE=60,则BPE 为等边三角形
4、,得到 PE=PB=4,BPE=60,在AEP 中,AE=5,延长 BP,作 AFBP 于点 FAP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形,且APE=90,即可得到APB 的度数,在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长,则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长,进而求得三角形 ABC 的面积【解答】解:ABC 为等边三角形,BA=BC,可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA,连 EP,且延长 BP,作 AFBP 于点 F如图,BE=BP=4,AE=PC=5,PBE=60,BPE 为等边三角形,PE=PB=4,BPE=60,在AEP 中,AE
5、=5,AP=3,PE=4,AE2=PE2+PA2,APE 为直角三角形,且APE=90,APB=90+60=150 APF=30,在直角APF 中,AF=AP=,PF=AP=在直角ABF 中,AB2=BF2+AF2=(4+)2+()2=25+12 则ABC 的面积是AB2=(25+12)=故选:A【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等 4.(2018江苏扬州3 分)如图,点 A 在线段 BD 上,在 BD 的同侧做等腰 RtABC 和等腰 RtADE,CD 与 BE、
6、AE 分别交于点 P,M对于下列结论:BAECAD;MPMD=MAME;2CB2=CPCM其中正确的是()A B C D【分析】(1)由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明PAMEMD 即可;(3)2CB2转化为 AC2,证明ACPMCA,问题可证【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE BAC=EAD BAE=CAD BAECAD 所以正确 BAECAD BEA=CDA PME=AMD PMEAMD MPMD=MAME 所以正确 BEA=CDA PME=AMD P、E、D、A 四点共圆 APD=EAD=90 CAE=180BACEAD=90
7、 CAPCMA AC2=CPCM AC=AB 2CB2=CPCM 所以正确 故选:A【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断 在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案 5(20182018湖南省常德湖南省常德3 分)如图,已知 BD 是ABC 的角平分线,ED 是 BC 的垂直平分线,BAC=90,AD=3,则 CE 的长为()A6 B5 C4 D3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC,根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出C=DBC=ABD=30,根据直角三角形的性质解答【解答】解:ED 是 BC 的垂直平分线,DB=DC,C=DBC,B
8、D 是ABC 的角平分线,ABD=DBC,C=DBC=ABD=30,BD=2AD=6,CE=CDcosC=3,故选:D【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键 6.(2018台湾分)如图,锐角三角形 ABC 中,BCABAC,甲、乙两人想找一点 P,使得BPC 与A 互补,其作法分别如下:(甲)以 A 为圆心,AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点,则 P 即为所求;(乙)作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l,作过 C 点且与 AC 垂直的直线,交 l 于 P 点,则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法,下列叙述何
9、者正确?()A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确,乙错误 D甲错误,乙正确【分析】甲:根据作图可得 AC=AP,利用等边对等角得:APC=ACP,由平角的定义可知:BPC+APC=180,根据等量代换可作判断;乙:根据四边形的内角和可得:BPC+A=180【解答】解:甲:如图 1,AC=AP,APC=ACP,BPC+APC=180 BPC+ACP=180,甲错误;乙:如图 2,ABPB,ACPC,ABP=ACP=90,BPC+A=180,乙正确,故选:D 【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键 7(2018湖北荆门3 分)如图,等腰 Rt
10、ABC 中,斜边 AB 的长为 2,O 为 AB 的中点,P为 AC 边上的动点,OQOP 交 BC 于点 Q,M 为 PQ 的中点,当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M所经过的路线长为()A B C1 D2【分析】连接 OC,作 PEAB 于 E,MHAB 于 H,QFAB 于 F,如图,利用等腰直角三角形的性质得 AC=BC=,A=B=45,OCAB,OC=OA=OB=1,OCB=45,再证明 RtAOPCOQ 得到 AP=CQ,接着利用APE 和BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE=AP=CQ,QF=BQ,所以 PE+QF=BC=1,然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到
11、 MH=,即可判定点 M 到 AB 的距离为,从而得到点 M 的运动路线为ABC 的中位线,最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长【解答】解:连接 OC,作 PEAB 于 E,MHAB 于 H,QFAB 于 F,如图,ACB 为到等腰直角三角形,AC=BC=AB=,A=B=45,O 为 AB 的中点,OCAB,OC 平分ACB,OC=OA=OB=1,OCB=45,POQ=90,COA=90,AOP=COQ,在 RtAOP 和COQ 中,RtAOPCOQ,AP=CQ,易得APE 和BFQ 都为等腰直角三角形,PE=AP=CQ,QF=BQ,PE+QF=(CQ+BQ)=BC=1,M 点为
12、 PQ 的中点,MH 为梯形 PEFQ 的中位线,MH=(PE+QF)=,即点 M 到 AB 的距离为,而 CO=1,点 M 的运动路线为ABC 的中位线,当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M 所经过的路线长=AB=1 故选:C 【点评】本题考查了轨迹:通过计算确定动点在运动过程中不变的量,从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质 8.(2018河北3 分)已知:如图 4,点P在线段AB外,且PAPB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A作APB的平分线PC交AB于点C B过点P作PCAB于点C且ACBC C.取AB中点C,连接
13、PC D过点P作PCAB,垂足为C 9.(2018 四川省绵阳市)如图,ACB 和ECD 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACB的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上,若 AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为()A.B.C.D.【答案】D 【考点】三角形的面积,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形 【解析】【解答】解:连接 BD,作 CHDE,ACB 和ECD 都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,ADC=CAB=45,即ACD+DCB=ACD+ACE=90,DCB=ACE,在DCB 和ECA 中,,DCBECA,DB=EA=,CDB
14、=E=45,CDB+ADC=ADB=90,在 RtABD 中,AB=2,在 RtABC 中,2AC2=AB2=8,AC=BC=2,在 RtECD 中,2CD2=DE2=,CD=CE=+1,ACO=DCA,CAO=CDA,CAOCDA,:=4-2,又=CE=DECH,CH=,=ADCH=,=(4-2)=3-.即两个三角形重叠部分的面积为 3-.故答案为:D.【分析】解:连接 BD,作 CHDE,根据等腰直角三角形的性质可得ACB=ECD=90,ADC=CAB=45,再由同角的余角相等可得DCB=ACE;由 SAS 得DCBECA,根据全等三角形的性质知 DB=EA=,CDB=E=45,从而得AD
15、B=90,在 RtABD 中,根据勾股定理得 AB=2,同理可得 AC=BC=2,CD=CE=+1;由相似三角形的判定得CAOCDA,根据相似三角形的性质:面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.二二.填空题填空题 1(2018 四川省泸州市 3 分)如图,等腰ABC 的底边 BC=20,面积为 120,点 F 在边 BC上,且 BF=3FC,EG 是腰 AC 的垂直平分线,若点 D 在 EG 上运动,则CDF 周长的最小值为 18 【分析】如图作 AHBC 于 H,连接 AD 由 EG 垂直平分线段 AC,推出 DA=DC,推出 DF+DC=AD+DF,可得当 A、D、F 共
16、线时,DF+DC 的值最小,最小值就是线段 AF 的长;【解答】解:如图作 AHBC 于 H,连接 AD EG 垂直平分线段 AC,DA=DC,DF+DC=AD+DF,当 A、D、F 共线时,DF+DC 的值最小,最小值就是线段 AF 的长,BCAH=120,AH=12,AB=AC,AHBC,BH=CH=10,BF=3FC,CF=FH=5,AF=13,DF+DC 的最小值为 13 CDF 周长的最小值为 13+5=18;故答案为 18【点评】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称,解决最短问题,属于中考常考题型 2.(2018广西桂林
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