96全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8:009:20)一、选择题(本题满分36分,每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=,用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)133 存在整数n,使+是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个4 设x(,0),以下三个数1=cos(sinx),2=s
2、in(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)2315 如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不对6 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1,球心O1在圆台的轴上,球O1与圆台的上底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为3的球O2,使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球O2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二
3、、填空题(本题满分54分,每小题9分)1 集合x|1log10,xN*的真子集的个数是 2 复平面上,非零复数z1,z2在以i为圆心,1为半径的圆上,z2的实部为零,z1的辐角主值为,则z2=_3 曲线C的极坐标方程是=1+cos,点A的极坐标是(2,0),曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,则它扫过的图形的面积是_4 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是_5 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每 面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法
4、共有_种(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同)6 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_第二试一、(本题满分25分)设数列an的前n项和Sn=2an1(n=1,2,),数列bn 满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,)求数列bn 的前n项和二、(本题满分25分)求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意0,恒有 (x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 三、(本题满分35分)如图
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