87全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午800930)一选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分):1对任意给定的自然数n,若n6+3a为正整数的立方,其中a为正整数,则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在,但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 2边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若a为无理数,则过(a,0)的所有直线中(
2、) A有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n+)条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 C有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 4如图,ABC的顶点B在单位圆的圆心上,A、C在圆周上,ABC=2(00 B=(x,y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则的值为 (青海供题)3若k是大于1的整数,是x2kx+1=0的一个根,对于大于10的任意自然数n,+的个位数字总是7,则k的个位数字是 (河北供题)4现有边长为3,4,5的三角形两个,边长为4,5,的三角形四个,边长为,4,5的三角形六个,
3、用上述三角形为面,可以拼成 个四面体(江西供题)5五对孪生兄妹参加k个组活动,若规定: 孪生兄妹不在同一组;非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,有一人只参加两个组的活动,则k的最小值为 (命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一如图,ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形,现固定ABC,而将ADE绕A点在平面上旋转,试证:不论ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使BMD为等腰直角三角形二在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点试证:存在一个同心圆的集合,使得 每个整点都在此集合的某个圆周上; 此集合的每个圆周上,有且只有一个整点(辛泽尔定理)三n(n3)名乒
4、乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明:总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同1987年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分):1对任意给定的自然数n,若n6+3a为正整数的立方,其中a为正整数,则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在,但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 解:(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k取a=(3n4+9n2k
5、+9k2)k,(k为任意正整数),则n6+3a为正整数的立方,由于k可任意取值,且当k增大时,a也随之增大即a有无数个选A2边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 解:设x3,y3,且x2+y2=25满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)令x+y=k,则当直线经过点(4,3)时取得最大值7即2x+2y14选B3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若a为无理数,则过(a,0)的所有直线中( ) A有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n+
6、)条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点 C有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 解:若直线斜率为k,则当k=0时直线经过x轴上所有有理点当k0时,直线方程为y=k(xa)若k为有理数,则当x为有理数时,y为无理数;若k为无理数,若此时直线经过一个有理点A(x1,y1),对于直线上与A不重合的点B(x2,y2)由y1=k(x1a),y2=k(x2a),由于a为无理数,故y10,x2a0,=m,当y2为有理数时,m为有理数,当y2y1时,m1,此时x2=mx1+(1m)a为无理数即此直线上至多有一个有理点选C4如图,ABC的顶点B在单位圆的圆心上,A、C
7、在圆周上,ABC=2(00 B=(x,y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则的值为 (青海供题)解:集合A的图形是依次连(,0),(0,),(,0),(0,)四点的线段集合B的图形是直线x=1,x=1,y=1,y=1它们交得一个正八边形若此4条直线为图中的4条实线,则=tan22.5+1= 或此正八边形各边与原点距离相等,知直线x+y=与原点距离=1= 若此4条直线为图中的4条虚线,则=2+2,=2+ =2或2+ 3若k是大于1的整数,是x2kx+1=0的一个根,对于大于10的任意自然数n,+的个位数字总是7,则k的个位数字是 (河北供题)解:另一根=
8、1,+1=k,记+kn(mod 10),0kn10由+=(+)22得,knkn12+8(mod 10)若k为偶数,则kn为偶数,不等于7若kn11(mod 10),则kn9,kn+19(mod 10);若kn13(mod 10),则kn7,kn+17(mod 10);若kn15(mod 10),则kn9,kn+19(mod 10);故k的个位数字为3,5,74现有边长为3,4,5的三角形两个,边长为4,5,的三角形四个,边长为,4,5的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成 个四面体(江西供题)解:用四个三角形拼成四面体,每种边长至少要在两个三角形中出现因此以上三种三角形如果要用,就用偶数个由
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