98全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1 若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a 1)+lg(b 1) 的值( ) (A)等于lg2(B)等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.若非空集合A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,则能使AAB成立的所有a的集合是( ) (A)a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 3.各项均为实数的等比数列an前n项之和记为Sn ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C)15
2、0或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P:关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题Q:= 则命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角CFGE的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) arctan (D) arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的
3、中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1若f (x) (xR)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x,则f(),f(),f()由小到大排列是 2设复数z=cos+isin(0180),复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是_.3从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取
4、出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有_种.4各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_项. 5若椭圆x2+4(ya)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是 6DABC中, C = 90o, B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2,此时三棱锥A-BCM的体积等于_.三、(本题满分20分)已知复数z=1sin+icos(),求z的共轭复数的辐角主值 四、(本题满分20分) 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a 1, b 1, 且lg (a
5、+ b) = lg a + lg b, 则lg (a 1) + lg (b 1) 的值( ) (A)等于lg2(B)等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 解:a+b=ab,(a1)(b1)=1,由a10,b10,故lg(a1)(b1)=0,选C2若非空集合A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,则能使AAB成立的所有a的集合是( ) (A)a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 解:AB,A 32a+13a522,6a9故选B3各项均为实数的等比数列a n 前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于(
6、 ) (A) 150 (B) -200 (C)150或 -200 (D) -50或400解:首先q1,于是,(q101)=10,(q301)=70, q20+q10+1=7q10=2(3舍) S40=10(q401)=150选A 4.设命题P:关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题Q:= 则命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 解:若两个不等式的解集都是R,否定A、C,若比值为1,
7、否定A、B,选D5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角CFGE的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) arctan (D) arccot 解:取AD、BD中点H、M,则EHFGBD,于是EH在平面EFG上设CMFG=P,AMEH=Q,则P、Q分别为CM、AM中点,PQAC ACBD,PQFG,CPFG,CPQ是二面角CFGE的平面角设AC=2,则MC=MA=,cosACM= 选D6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C)
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- 98 全国 高中数学 联赛 试题 解答
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