专题32 新定义与阅读理解创新型问题-(解析版).docx
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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期) 专题32新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1(四川省雅安市2021年中考数学真题)定义:,若函数,则该函数的最大值为( )A0B2C3D4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则,分两种情况进行求解即可【详解】令,当时,即时,令 ,则w与x轴的交点坐标为(2,0),(-1,0),当时,(),y随x的增大而增大,当x=2时,;当时,即时,令 ,则w与x轴的交点坐标为(2,0),(-1,0),当时,或,(或),的对称轴为x=1,当时,y随x的增大而减小,当x=2时,=3,当时,y3;当,y随x的增大而增大,当x=-1时,=0;当时,y0;
2、综上,的最大值为3故选C【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目,解题时要注意分情况讨论,不要漏解2(广东省2021年中考真题数学试卷)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记,则其面积这个公式也被称为海伦-秦九韶公式若,则此三角形面积的最大值为( )AB4CD5【答案】C【分析】由已知可得a+b=6,把b=6-a代入S的表达式中得:,由被开方数是二次函数可得其最大值,从而可求得S的最大值【详解】p=5,c=4,a+b=2p-c=6由a+b=6,得b=6-a,代入上式,得:设,当取得最大
3、值时,S也取得最大值当a=3时,取得最大值4 S的最大值为故选:C【点睛】本题考查了二次函数的性质,关键是由已知得出a+b=6,把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题3(内蒙古通辽市2021年中考数学真题)定义:一次函数的特征数为,若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数的特征数是( )ABCD【答案】D【分析】先求出平移后的直线解析式为,根据与反比例函数的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,得到直线经过原点,从而求出m,根据特征数的定义即可求解【详解】解:由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为,直线与
4、反比例函数的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,点A,B,O在同一直线上,直线经过原点,m+3=0,m=-3,一次函数的解析式为,一次函数的特征数是故选:D【点睛】本题考查了新定义,直线的平移,一次函数与反比例函数交点,中心对称等知识,综合性较强,根据点A,B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键4(江苏省无锡市2021年中考数学真题)设,分别是函数,图象上的点,当时,总有恒成立,则称函数,在上是“逼近函数”,为“逼近区间”则下列结论:函数,在上是“逼近函数”;函数,在上是“逼近函数”;是函数,的“逼近区间”;是函数,的“逼近区间”其中,正确的有( )ABCD【答案】A【分析】分
5、别求出的函数表达式,再在各个x所在的范围内,求出的范围,逐一判断各个选项,即可求解【详解】解:,当时,函数,在上不是“逼近函数”;,当时,函数,在上是“逼近函数”;,当时,是函数,的“逼近区间”;,当时,不是函数,的“逼近区间”故选A【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质,掌握一次函数与二次函数的增减性,是解题的关键5(2021广西来宾市中考真题)定义一种运算:,则不等式的解集是( )A或BC或D或【答案】C【分析】根据新定义运算规则,分别从和两种情况列出关于x的不等式,求解后即可得出结论【详解】解:由题意得,当时,即时,则,解得,此时原不等式的解集为;当时,即时,则,解得,此时原不等式
6、的解集为;综上所述,不等式的解集是或故选:C【点睛】本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式6(2021广西中考真题)如,我们叫集合,其中1,2,叫做集合的元素集合中的元素具有确定性(如必然存在),互异性(如,),无序性(即改变元素的顺序,集合不变)若集合,我们说已知集合,集合,若,则的值是( )A1B0C1D2【答案】C【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性,对于集合B的元素通过分析,与A的元素对应分类讨论即可【详解】解:集合B的元素,可得,当时,不满足互异性,情况不存在,当时,(舍),时,满足题意,此时,故选:【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无
7、序性。通过元素的分析,按照定义分类讨论即可7(2021湖北中考真题)定义新运算“”:对于实数,有,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,如:若关于的方程有两个实数根,则的取值范围是( )A且BC且D【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则,将其化为关于x的一元二次方程,从二次项系数和判别式两个方面入手,即可解决【详解】解:x2+1,x52k,k=0,整理得,方程有两个实数根,判别式且由得,解得,k的取值范围是且故选:C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点,正确理解新定义的运算法则是解题的基础,熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键此类题
8、目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制,要引起高度重视8(2021甘肃武威市中考真题)对于任意的有理数,如果满足,那么我们称这一对数为“相随数对”,记为若是“相随数对”,则( )ABC2D3【答案】A【分析】先根据新定义,可得9m+4n=0,将整式去括号合并同类项化简得,然后整体代入计算即可【详解】解:是“相随数对”,整理得9m+4n=0,故选择A【点睛】本题考查新定义相随数对,找出数对之间关系,整式加减计算求值,掌握新定义相随数对,找出数对之间关系,整式加减计算求值是解题关键二、填空题9(广西贵港市2021年中考数学真题)我们规定:若,则例如,则已知,且,则的最大值是_【答案】8【分
9、析】根据平面向量的新定义运算法则,列出关于的二次函数,根据二次函数最值的求法解答即可【详解】解:根据题意知:因为,所以当时,即的最大值是8故答案是:8【点睛】本题主要考查了平面向量,解题时,利用了配方法求得二次函数的最值10(辽宁省丹东市2021年中考数学试题)已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角(或直角)三角形,则其费马点P是三角形内一点,且满足(例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点)若,P为的费马点,则_;若,P为的费马点,则_【答案】5 【分析】作出图形,过分别作,勾股定理解直角三角形即可作出图形,将绕点逆时针旋转60,P为的费马点则四点共线,即,再用
10、勾股定理求得即可【详解】如图,过作,垂足为,过分别作, 则, P为的费马点5如图: .将绕点逆时针旋转60由旋转可得:是等边三角形, P为的费马点即四点共线时候,=故答案为:5,【点睛】本题考查了勾股定理,旋转的性质,锐角三角函数,等腰三角形性质,作出旋转的图形是解题的关键本题旋转也可,但必须绕顶点旋转11(浙江省宁波市2021年中考数学试卷)在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点,我们把点称为点A的“倒数点”如图,矩形的顶点C为,顶点E在y轴上,函数的图象与交于点A若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形的一边上,则的面积为_【答案】或【分析】根据题意,点B不可能在坐标轴上,可对点B进
11、行讨论分析:当点B在边DE上时;当点B在边CD上时;分别求出点B的坐标,然后求出的面积即可【详解】解:根据题意,点称为点的“倒数点”,点B不可能在坐标轴上;点A在函数的图像上,设点A为,则点B为,点C为,当点B在边DE上时;点A与点B都在边DE上,点A与点B的纵坐标相同,即,解得:,经检验,是原分式方程的解;点B为,的面积为:;当点B在边CD上时;点B与点C的横坐标相同,解得:,经检验,是原分式方程的解;点B为,的面积为:;故答案为:或【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质,矩形的性质,解分式方程,坐标与图形等知识,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质,运用分类讨论的思想进行分析12(山东省
12、菏泽市2021年中考数学真题)定义:为二次函数()的特征数,下面给出特征数为的二次函数的一些结论:当时,函数图象的对称轴是轴;当时,函数图象过原点;当时,函数有最小值;如果,当时,随的增大而减小,其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】利用二次函数的性质根据特征数,以及的取值,逐一代入函数关系式,然判断后即可确定正确的答案【详解】解:当时,把代入,可得特征数为,函数解析式为,函数图象的对称轴是轴,故正确;当时,把代入,可得特征数为,函数解析式为,当时,函数图象过原点,故正确;函数 当时,函数图像开口向上,有最小值,故正确;当时,函数图像开口向下,对称轴为:时,可能在函数对称轴的左侧,也可能在
13、对称轴的右侧,故不能判断其增减性,故错误;综上所述,正确的是,故答案是:【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数的对称轴等知识点,牢记二次函数的基本性质是解题的关键13(2021湖南娄底市中考真题)弧度是表示角度大小的一种单位,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作已知,则与的大小关系是_【答案】【分析】根据弧度的定义,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作,当时,三角形为等边三角形,所以圆心角所对的弧长比半径大,即可判断大小【详解】解:根据弧度的定义,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作,当时,易知三角形为等边三角形,弦长等于半径,圆
14、心角所对的弧长比半径大,故答案是:【点睛】本题考查了弧度的定义,解题的关键是:理解弧度的定义,从而利用定义来判断14(2021上海中考真题)定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离,在平面内有一个正方形,边长为2,中心为O,在正方形外有一点,当正方形绕着点O旋转时,则点P到正方形的最短距离d的取值范围为_【答案】【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值,然后结合旋转的条件即可求解【详解】解:如图1,设的中点为E,连接OA,OE,则AE=OE=1,AEO=90,点O与正方形边上的所有点的连线中,最小,等于1,最大,等于,点P与正方形边上的所有
15、点的连线中,如图2所示,当点E落在上时,最大值PE=PO-EO=2-1=1;如图3所示,当点A落在上时,最小值当正方形ABCD绕中心O旋转时,点P到正方形的距离d的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点,准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键15(2021湖北中考真题)对于任意实数a、b,定义一种运算:,若,则x的值为_【答案】或2【分析】根据新定义的运算得到,整理并求解一元二次方程即可【详解】解:根据新定义内容可得:,整理可得,解得,故答案为:或2【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程,根据题意理解新定义运算是解题的关键三、解答题16(江
16、苏省南通市2021年中考数学试题)定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”例如,点是函数的图象的“等值点”(1)分别判断函数的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作轴,垂足为C当的面积为3时,求b的值;(3)若函数的图象记为,将其沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出m的取值范围【答案】(1)函数y=x+2没有“等值点”; 函数的“等值点”为(0,0),(2,2);(2)或;(3)或【分析】(1)根据定义分别求解即可求得答案;
17、(2)根据定义分别求A(,),B(,),利用三角形面积公式列出方程求解即可;(3)由记函数y=x2-2(xm)的图象为W1,将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2,可得W1与W2的图象关于x=m对称,然后根据定义分类讨论即可求得答案【详解】解:(1)函数y=x+2,令y=x,则x+2=x,无解,函数y=x+2没有“等值点”;函数,令y=x,则,即,解得:,函数的“等值点”为(0,0),(2,2);(2)函数,令y=x,则,解得:(负值已舍),函数的“等值点”为A(,);函数,令y=x,则,解得:,函数的“等值点”为B(,);的面积为,即,解得:或;(3)将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记
18、为W2W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称,函数W的解析式为,令y=x,则,即,解得:,函数的“等值点”为(-1,-1),(2,2);令y=x,则,即,当时,函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况;当时,观察图象,恰有2个“等值点”;当时,W1的图象上恰有2个“等值点”(-1,-1),(2,2),函数W2没有“等值点”,整理得:,解得:综上,m的取值范围为或【点睛】本题属于二次函数的综合题,考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件17(江苏省常州市2021年数学中考真题)在平面直角坐标系中,对于A、两点,若在y轴上存在
19、点T,使得,且,则称A、两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点、,点在一次函数的图像上(1)如图,在点、中,点M的关联点是_(填“B”、“C”或“D”);若在线段上存在点的关联点,则点的坐标是_;(2)若在线段上存在点Q的关联点,求实数m的取值范围;(3)分别以点、Q为圆心,1为半径作、若对上的任意一点G,在上总存在点,使得G、两点互相关联,请直接写出点Q的坐标【答案】(1)B;(2)或;(3)或【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点故先找到旋转90坐标变化规律,再根据规律解答即可,(1)根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标,有解
20、则是关联点;无解则不是;关联点的纵坐标等于0,根据关联点坐标变化规律列方程求解即可;(2)根据关联点坐标变化规律得出关联点,列不等式求解即可;(3)根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点,由点E坐标求出点Q坐标即可【详解】解:在平面直角坐标系中,设,点,关联点,将点A、点、点T向下平移个单位,点T对应点与原点重合,此时点A、点对应点、,绕原点旋转90度的坐标变化规律为:点(x,y)顺时针旋转,对应点坐标为(y,-x);逆时针旋转对应点坐标为(-y,x),绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或,即顺时针旋转时,解得:,即关联点,或逆时针旋转时,解得:,即关联点,即:在平面直角坐标系中,设,点,关
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