函数极值以及其求法.ppt
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1、关于函数的极值及其求法关于函数的极值及其求法第一张,PPT共三十二页,创作于2022年6月定义定义使得使得有有则称则称 为为 的一个的一个极大值点极大值点(或或极小极小值点值点)极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点.极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值.1)函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.2)对常见函数对常见函数,极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点(称为称为可疑可疑极值点极值点).称称 为为 的一个的一个极大值极大值(或或极小值极小值)注意注意第二张,PPT共三十二页,创作于2022年6月函数极值的
2、求法函数极值的求法定理定理1(1(函数取得极值的函数取得极值的必要条件必要条件)()(费马定理费马定理)定义定义注意注意:例如例如,设设在点在点处具有导数处具有导数,且在且在处取得极值处取得极值,则则第三张,PPT共三十二页,创作于2022年6月定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)设设在点在点 处连续处连续,(1)若若 时时,而而时时,则则在点在点处取得处取得极大值极大值;(2)若若 时时,而而时时,则则在点在点处取得处取得极小值极小值;(3)若若时时,的符号相同的符号相同,则则在点在点处处无极值无极值.第四张,PPT共三十二页,创作于2022年6月求极值的步
3、骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)第五张,PPT共三十二页,创作于2022年6月例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值第六张,PPT共三十二页,创作于2022年6月图形如下图形如下第七张,PPT共三十二页,创作于2022年6月例例2 2解解第八张,PPT共三十二页,创作于2022年6月的极值的极值.解解得驻点得驻点不可导点不可导点是极大值点,是极大值点,其极大值为其极大值为是极小值点,是极小值点,其极小值为其极小值为例例3 求函数求函数不存在不存在第九张,PPT共三十二页,创作于2022年6月定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).二
4、阶导数二阶导数,且且则则 在点在点 取极取极大值大值;则则 在点在点 取极取极小值小值.设函数设函数 f(x)在点在点 x0 处处 具有具有第十张,PPT共三十二页,创作于2022年6月例例4 4解解图形如下图形如下第十一张,PPT共三十二页,创作于2022年6月注意注意:第十二张,PPT共三十二页,创作于2022年6月的极值的极值.解解:令令得驻点得驻点因因故故 为为极小值极小值;又又故需用极值的第一充分条件来判别故需用极值的第一充分条件来判别.例例5.求函数求函数第十三张,PPT共三十二页,创作于2022年6月则则1)当当 为偶数时为偶数时,2)当当 为奇数时为奇数时,为极值点为极值点,且
5、且不是极值点不是极值点,证证定理定理4设设 f(x)在点在点 x0 处处 具有具有n 阶导数,且阶导数,且则则 在点在点 取极取极大值大值;则则 在点在点 取极取极小值小值.点点 为拐点为拐点。第十四张,PPT共三十二页,创作于2022年6月故故1)当当 为偶数时为偶数时,由极限的保号性由极限的保号性,知知又又得得故故 在点在点 取极取极大值大值。则则 在点在点 取极取极小值小值.同理可证,同理可证,2)当当 为奇数时为奇数时,可证可证 在在 点邻近两点邻近两 侧异号侧异号,故故 在点在点 不不取极值取极值。第十五张,PPT共三十二页,创作于2022年6月故故 当当 为奇数为奇数时时,可证可证
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