第16课 实对称矩阵的对角化PPT讲稿.ppt
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1、第第16课课 实对称矩阵的实对称矩阵的对角化对角化第1页,共25页,编辑于2022年,星期日性质性质1 1 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.(.(证明略)证明略)一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质性质性质1 1的意义的意义因为对称矩阵因为对称矩阵 的特征值的特征值 为实数,所以齐次线性方程组为实数,所以齐次线性方程组又因为又因为 ,可知该齐次线性方程组一定有实的,可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。是实系数方程组。是实系数方程组。注注未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。未必所有的实矩阵对应的
2、特征值都是实数。第2页,共25页,编辑于2022年,星期日性质性质2 实对称矩阵实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量的对应于不同特征值的特征向量正交。正交。是依次与之对应的特征向量。是依次与之对应的特征向量。证证 设设 是对称矩阵是对称矩阵 的两个特征值,且的两个特征值,且则则于是于是为实对称矩阵,为实对称矩阵,即即 正交。正交。第3页,共25页,编辑于2022年,星期日例:例:A定理定理5.3.1 (实对称矩阵必可对角化实对称矩阵必可对角化)对于任一对于任一 阶阶实对称矩阵实对称矩阵 ,其中其中 是以是以 的的 个特征值为对角元素的对角阵。个特征值为对角元素的对角阵。一定存在一定存在 n
3、 阶阶正交矩阵正交矩阵 使得使得推论:推论:为为 阶实对称矩阵,阶实对称矩阵,是是 的的 重特征值,重特征值,即即 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为则对应于则对应于 的特征向量中,线性无关的向量的个数为的特征向量中,线性无关的向量的个数为(则则 )知知道道结结论论即即可可二、实对称矩阵(正交)对角化的结论二、实对称矩阵(正交)对角化的结论第4页,共25页,编辑于2022年,星期日证明:证明:A为实对称矩阵,则为实对称矩阵,则A必可对角化。必可对角化。即即 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为第5页,共25页,编辑于2022年,星期日例例1 设设求正交矩阵求正交矩阵
4、,使得使得 为对角阵。为对角阵。解解第6页,共25页,编辑于2022年,星期日当当 时,齐次线性方程组为时,齐次线性方程组为得基础解系得基础解系令令第7页,共25页,编辑于2022年,星期日当当 时,齐次线性方程组为时,齐次线性方程组为令令得基础解系得基础解系之间是什么关系?之间是什么关系?第8页,共25页,编辑于2022年,星期日令令先正交化:先正交化:再单位化:令再单位化:令第9页,共25页,编辑于2022年,星期日单位化得单位化得得正交矩阵得正交矩阵唯一吗?唯一吗?第10页,共25页,编辑于2022年,星期日求正交矩阵求正交矩阵 ,把实对称矩阵,把实对称矩阵 化为对角阵的方法:化为对角阵
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