新课改地区2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.5离散型随机变量及其分布列练习新人教B版.doc
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1、111.511.5 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列核心考点核心考点精准研析精准研析考点一离散型随机变量及其分布列1.某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X;某人射击 2 次,击中目标的环数之和记为 X;测量一批电阻,在 950 1 200 之间的阻值记为 X;一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为 X.其中是离散型随机变量的是()A.B.C.D.2.若随机变量 X 的概率分布列为Xx1x2Pp1p2且 p1=p2,则 p1等于()A.B.C.D.3.某学习小组共 12 人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选 5 人参加竞赛,用表示这 5 人中“三
2、好学生”的人数,则下列概率中等于的是()A.P(=1)B.P(1)C.P(1)D.P(2)4.已知随机变量 X 的概率分布为 P(X=i)=(i=1,2,3,4),则 P(2X4)=_.【解析】1.选 A,的变量所有取值可以一一列举,是离散型的,中的变量取值不可以一一列举,为区间内的连续型的变量.2.选 B.由 p1+p2=1 且 p2=2p1,可解得 p1=.23.选 B.因为 P=,P=,所以 P=P+P.4.因为由分布列的性质得+=1,所以 a=5,所以 P=P+P=+=.答案:1.判断离散型随机变量的方法判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出
3、,具体方法如下:(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.2.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“所有概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.考点二两点分布、超几何分布【典例】1.某学校调查高三年级学生的体育达标情况,随机抽取了一班 10 人,二班 15 人,三班 12 人,四班 13 人,四个班的达标人数分别为
4、9,14,11,12,以这四个班的平均达标率为高三年级的达标率,若达标记 1 分,不达标记 0 分,求高三年级的一个学生的得分 X 的分布列.2.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将3参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和 4 名女志愿者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率;
5、(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列.【解题导思】1.(1)先求出这四个班的平均达标率,作为高三学生的达标率.(2)因为 X 的取值为 1,0,联想到两点分布.2.序号题目拆解(1)接受甲种心理暗示的志愿者求从 6 男 4 女中取 5 人的方法数包含 A1但不包含 B1的概率求从除了 A1与 B1外的 8 人中取 4 人的方法数(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 先写出 X 的所有取值 0,1,2,3,4求 X 的分布列用古典概型概率公式求 X 取每个值时的概率【解析】1.由题意可得这四个班的平均达标率为=0.92,所以依此估计一个高三学生的达标率为
6、 0.92,不达标率为 1-0.92=0.08,所以高三年级的一个学生的得分 X 的分布列为X10P0.920.082.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M,则 P(M)=.(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,4P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此 X 的分布列为X01234P求超几何分布的分布列的步骤1.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=10
7、0,M=80,n=10的超几何分布.取到的 10 个球中恰有 6 个红球,即 X=6,P(X=6)=(注意袋中球的个数为 80+20=100).2.根据以往数据测得一个学生投篮一次,投中的概率为 0.44,设他投篮一次,投中记 1 分,否则记 0 分,求他的得分 X 的分布列.【解析】因为 P(X=1)=0.44,所以 P(X=0)=1-0.44=0.56,所以他的得分 X 的分布列为X105P0.440.56考点三离散型随机变量的分布列的综合问题命题精解读考什么考什么:(1)重点考查求离散型随机变量的分布列.(2)与数列、函数等知识交汇考查分布列问题怎么考怎么考:以统计、古典概型等实际问题为
8、背景考查求离散型随机变量的分布列,常常以解答题形式考查,两点分布多数是以选择题或填空题形式考查,超几何分布以解答题的形式考查新趋势新趋势:结合新背景,与数列、函数等知识交汇考查分布列问题学霸好方法1.1.解答有关分布列问题时的注意点解答有关分布列问题时的注意点(1)明确随机变量的取值,掌握分布列的性质(2)求分布列时逐一求出随机变量的各个取值对应的概率,并把所有概率相加所得和是 1 加以验证.2.2.交汇问题交汇问题解决分布列与统计、数列、函数等知识交汇问题,注意拆分到各个知识块中,各个击破.以统计知识为背景考查分布列【典例】某校暑假开展“名师云课”活动,获得广大家长和学生的高度赞誉,其中数学
9、学科推出 36 节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:点击量(单位:千)0,1(1,3(3,+)节数61812(1)现从 36 节云课中按照点击量采用分层抽样的方式选出 6 节,求选出的点击量超过 3 千的节数;(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间0,1内,则需要花费 40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1,3内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3千,则不需要剪辑,现从(1)中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑,求剪辑时间 X 的分布列.【解析】(1)根据分层抽样可知,选出的 6 节课中点击量超过 3 千的节数为6=2
10、.(2)由分层抽样可知,(1)中选出的 6 节课中点击量在区间0,1内的有 1 节,点击量在区间6(1,3 内的有 3 节,点击量在(3,+)内的有 2 节,故 X 的可能取值为 0,20,40,60.P(X=0)=,P(X=20)=,P(X=40)=,P(X=60)=,则 X 的分布列为X0204060P求分布列的关键和关注点是什么?提示:求离散型随机变量的分布列的关键和关注点(1)关键:求随机变量取值所对应的概率,在求解时,常用随机变量取值的频率来估计概率.(2)关注点:求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.以古典概型为背景考查分布列【典例】为振兴旅游业,四川省
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