2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法练习新人教A版选修2_2.doc
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1、2.2.2反证法限时50分钟,满分80分一、选择题(每小题5分,共30分)1用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根,故应选A.答案A2用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角 D没有一个内角是钝角解析“最多有一个”
2、的反设是“至少有两个”答案C3已知l,a,b,若a,b为异面直线,则Aa,b都与l相交Ba,b中至少有一条与l相交Ca,b中至多有一条与l相交Da,b都不与l相交解析易知直线a,l共面且b,l共面,假设a,b都不与l相交,则al,且bl,ab,这与a,b是异面直线矛盾,故a,b至少有一条与直线l相交,故选B.答案B4已知f(x)是R上的增函数,a,bR,下列四个命题:若ab0,则f(a)f(b)f(a)f(b);若f(a)f(b)f(a)f(b),则ab0;若ab0,则f(a)f(b)f(a)f(b);若f(a)f(b)f(a)f(b),则ab0.其中真命题的个数为A1B2C3 D4解析易知正
3、确用反证法:假设ab0,则ab,ba,f(a)f(b),f(b)f(a),f(a)f(b)2,求证:2与2中至少有一个成立证明假设2和0且y0,所以1x2y且1y2x,两式相加,得2xy2x2y,所以xy2.这与已知xy2矛盾故2与2至少有一个成立11(12分)已知abc0,abbcca0,abc0,求证:a0,b0,c0.证明假设a0,由abc0得bc0,由abc0,得bca0,于是abbccaa(bc)bc0,这与已知矛盾又若a0,则abc0,与abc0矛盾,故a0,同理可证b0,c0.12(13分)已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由yax22bxc,ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点由yax22bxc,ybx22cxa,ycx22axb,得1(2b)24ac0,且2(2c)24ab0,且3(2a)24bc0.同向不等式求和得:4b24c24a24ac4ab4bc0,2a22b22c22ab2bc2ac0,(ab)2(bc)2(ac)20,abc.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证4
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