三角函数解三角形综合.doc
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1、,1.已知函数f(x)=sin(x)2sin2+m(0)的最小正周期为3,当x0,时,函数f(x)的最小值为0(1)求函数f(x)的表达式;(2)在ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(AC),求sinA的值解:()依题意:函数所以,所以f(x)的最小值为m依题意,m=0(),在RtABC中,0sinA1,2.已知函数(其中0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为(I)求y=f(x)的单调递增区间;()在ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2ba)cosC=ccosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断ABC的形状【解答】解:(),=,f(x)
2、的对称轴离最近的对称中心的距离为,T=,=1,得:,函数f(x)单调增区间为;()(2ba)cosC=ccosA,由正弦定理,得(2sinBsinA)cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),sin(A+C)=sin(B)=sinB0,2sinBcosC=sinB,sinB(2cosC1)=0,0C,根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值ymax=1,此时,即,ABC为等边三角形3.已知函数f(x)=sinx+cos(x+)+cos(x)1(0),xR,且函数的最小正周期为:(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中
3、,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(B)=0, =,且a+c=4,试求b的值【解答】解:(1)f(x)=sinx+cos(x+)+cos(x)1=T=,=2则f(x)=2sin(2x)1;(2)由f(B)=0,得或,kZB是三角形内角,B=而=accosB=,ac=3又a+c=4,a2+c2=(a+c)22ac=1623=10b2=a2+c22accosB=7则b=4.已知函数(1)求f(x)单调递增区间;(2)ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足,求f(A)的取值范围【解答】解:(1)f(x)=+sin2x=sin2xcos2x=sin(2x),令2k2x2k+,kZ,得到+
4、kx+k,kZ,则f(x)的增区间为+k, +k(kZ);(2)由余弦定理得:cosA=,即b2+c2a2=2bccosA,代入已知不等式得:2bccosAbc,即cosA,A为ABC内角,0A,f(A)=sin(2A),且2A,f(A),则f(A)的范围为(,)5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=a(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tanAsinxcosxcos2x(0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)图象,求函数g(x)在区间,上值域解:(1)b
5、sinAcosC+csinAcosB=a,由正弦定理可得:sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA,A为锐角,sinA0,sinBcosC+sinCcosB=,可得:sin(B+C)=sinA=,A=(2)A=,可得:tanA=,f(x)=sinxcosxcos2x=sin2xcos2x=sin(2x),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得:T=2=,解得:=1,f(x)=sin(2x),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得到图象对应的函数解析式为y=g(x)=sin2(x+)=sin(2x+),x,可得:2x+,g(x)=sin(2x+),16.已知向量,向量,函
6、数()求f(x)单调递减区间;()已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b,和ABC的面积S解:()=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2=sin(2x)+2,所以:f(x)的单调递减区间为:() 由(1)知:,时,由正弦函数图象可知,当时f(x)取得最大值3,(7分),(8分)由余弦定理,a2=b2+c22bccosA,得:,b=2,(10分)(12分)7.已知函数.()作出在一个周期内的图象;()分别是中角的对边,若,求的面积.利用“五点法”列表如下:001004分画出在上的图象,如图所示:()由(),在中,所以
7、.由正弦定理可知,即,所以,9分又,.因此的面积是.12分8.已知函数f(x)=(m+2cos2x)cos(2x+)为奇函数,且f()=0,其中mR,(0,)()求函数f(x)的图象的对称中心和单调递增区间()在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(+)=,c=1,ab=2,求ABC的周长【解答】解:()f()=(m+1)sin=0,(0,)sin0,m+1=0,即m=1,f(x)为奇函数,f(0)=(m+2)cos=0,cos=0,=故f(x)=(1+2cos2x)cos(2x+)=cos2x(sin2x)=sin4x,由4x=k,kZ得:x=k,kZ,故函数f(x)的图象的对
8、称中心坐标为:(k,0),kZ,由4x+2k, +2k,kZ得:x+k, +k,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为+k, +k,kZ,()f(+)=sin(2C+),C为三角形内角,故C=,c2=a2+b22abcosC=,c=1,ab=2,a+b=2+,a+b+c=3+,即ABC的周长为3+9.已知向量=(sin,1),=(cos,cos2),记f(x)=()若f(x)=1,求cos(x+)的值;()在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2ac)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范围【解答】解:()向量=(sin,1),=(cos,cos2),记f(x)=sin
9、cos+cos2=sin+cos+=sin()+,因为f(x)=1,所以sin()=,所以cos(x+)=12sin2()=,()因为(2ac)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinAsinC)cosB=sinBcosC所以2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,sinA0,所以cosB=,又0B,所以B=,则A+C=,即A=C,又0C,则A,得A+,所以sin(A+)1,又f(2A)=sin(A+),所以f(2A)的取值范围(10.已知向量,函数f(x)=(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的值域;(2)在ABC中,若f
10、(A)=4,b=4,ABC的面积为,求a的值【解答】解:(1)向量,函数f(x)=2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin(2x+),可得函数f(x)的最小正周期为=,x,即有2x+(,可得sin(2x+)(,1,则在上的值域为(2,5;(2)在ABC中,若f(A)=4,b=4,ABC的面积为,可得3+2sin(2A+)=4,即sin(2A+)=,由0A,可得2A+,可得2A+=,即A=,由=bcsinA=4csin=c,解得c=1,则a2=b2+c22bccosA=16+18=13,即a=11.已知函数f(x)=2sin(x+)cosx(1)若0x,求函数f(x
11、)的值域;(2)设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且f(A)=,b=2,c=3,求cos(AB)的值【解答】解:(1)f(x)=2sin(x+)cosx=(sinx+cosx)cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+;由得,即函数f(x)的值域为;(2)由,得,又由,解得;在ABC中,由余弦定理a2=b2+c22bccosA=7,解得;由正弦定理,得,ba,BA,cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB=12.已知向量(xR),设函数f(x)=1(1)求函数f(x)的单调增区间;(2已知锐角ABC的三个内角分别
12、为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC【解答】解:由已知得到函数f(x)=1=2cos2x+2sinxcosx1=cos2x+sin2x=2cos(2x);所以(1)函数f(x)的单调增区间是(2x)2k,2k,即xk,k+,kZ;已升级到最新版(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,f(A)=2,则2cos(2A)=2,所以A=,又B=,边AB=3,所以由正弦定理得,即,解得BC=13.(1)求函数的单调递减区间;(2)在中,角的对边分别为,若,的面积为,求a的最小值. 试题解析:(1),令,解得,的单调递减区间为().14.已知f(x)=,其中=(2cosx,si
13、n2x),=(cosx,1),xR(1)求f(x)的单调递减区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=1,a=,且向量=【解答】解:(1)由题意知3分y=cosx在a2上单调递减,令,得f(x)的单调递减区间,6分(2),又,即,8分,由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=(b+c)23bc=7.10分因为向量与共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3cb=3,c=2.12 分15.已知函数f(x)=2sin(x+)cosx(1)若0x,求函数f(x)的值域;(2)设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且f(A)=,b
14、=2,c=3,求cos(AB)的值【解答】解:(1)f(x)=2sin(x+)cosx=(sinx+cosx)cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+;由得,即函数f(x)的值域为;(2)由,得,又由,解得;在ABC中,由余弦定理a2=b2+c22bccosA=7,解得;由正弦定理,得,ba,BA,cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB=16.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(x)=2sin(xA)cosx+sin(B+C)(xR),函数f(x)的图象关于点(,0)对称()当x(0,)时,求f(x)的值域;()若a=7
15、且sinB+sinC=,求ABC的面积【解答】解:()f(x)=2sin(xA)cosx+sin(B+C)=2(sinxcosAcosxsinA)cosx+sinA=2sinxcosxcosA2cos2xsinA+sinA=sin2xcosAcos2xsinA=sin(2xA),由于函数f(x)的图象关于点(,0)对称,则f()=0,即有sin(A)=0,由0A,则A=,则f(x)=sin(2x),由于x(0,),则2x(,),即有sin(2x)1则值域为(,1;()由正弦定理可得=,则sinB=b,sinC=c,sinB+sinC=(b+c)=,即b+c=13,由余弦定理可得a2=b2+c2
16、2bccosA,即49=b2+c2bc=(b+c)23bc,即有bc=40,则ABC的面积为S=bcsinA=40=1017.已知函数f(x)=2sinxcosx3sin2xcos2x+3(1)当x0,时,求f(x)的值域;(2)若ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=, =2+2cos(A+C),求f(B)的值【解答】解:(1)f(x)=2sinxcosx3sin2xcos2x+3=sin2x3+3=sin2xcos2x+1=2sin(2x+)+1,x0,2x+,sin(2x+),1,f(x)=2sin(2x+)+10,3;(2)=2+2cos(A+C),sin(2A+C)=
17、2sinA+2sinAcos(A+C),sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA,即sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,又由=可得b=a,由余弦定理可得cosA=,A=30,由正弦定理可得sinC=2sinA=1,C=90,由三角形的内角和可得B=60,f(B)=f(60)=218.设函数f(x)=cos(2x)+2cos2x(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取得最大值时x的集合;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
18、c,若f(B+C)=,b+c=2,求a的最小值【解答】解:(1)由三角函数公式化简可得f(x)=cos(2x)+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=cos2xsin2x+1+cos2x=cos2xsin2x+1=cos(2x+)+1,当2x+=2k即x=k(kZ)时,f(x)取得最大值2,此时x的集合为x|x=k,kZ;(2)由2k+2x+2k+2可解得k+xk+,f(x)的单调递增区间为得k+,k+,kZ;(3)由(2)可得f(B+C)=cos(2B+2C+)+1=,cos(2B+2C+)=,由角的范围可得2B+2C+=,变形可得B+C=,A=,由余弦定理可得a2
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