2023届高三数学数列高考大题的类型与解法.pdf
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1、2023届高三数学数列高考大题的类型与解法2023届高三数学数列高考大题的类型与解法 数列问题也是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,都必有一个数列问题的12 分大题或两到三个数列问题的 5 分小题。从题型上看是 17 或 18 题的 12 分大题或选择题(也可能是填空题)的5 分小题;难度为中,低档题型,一般的考生都会拿到 7 到 12 分;纵观近几年高考试卷,归结起来数列大题问题主要包括:等差数列与等比数列之间的综合,求基本数列(等差数列或等比数列)的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,运用裂项相消法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合
2、,运用拆项求和法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,运用错项相减法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,求数列前 n 项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题:1、已知数列na为等差数列,数列nb是公比为 2 的等比数列,且2a-2b=3a-3b=4b-4a。(1)证明:1a=1b;(2)求集合k|kb=ma+1a,1m500中元素个数(2022 全国高考新高考 II 卷
3、)2、已知等差数列na满足 22a+5a=0,7a=24a-2。(1)求数列na的通项公式;(2)设nb=2na,求数列nb的前 n 项和(成都市 2019 级高三一诊)na+1,n 为奇数,3、已知数列na满足:1a=1,1na=na+2,n 为偶数。(1)记nb=2na,写出1b,2b,并求数列nb的通项公式;(2)求na的前 20 项和(2021 全国高考新高考 I)。4、(理)已知数列na的各项均为正数,记nS为na的前 n 项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立。数列na是等差数列;数列nS是等差数列;2a=31a。注:若选择不同组合分别解答,则按第一个解答计分。(文)记n
4、S为na的前 n 项和,已知na0,2a=31a,且数列nS是等差数列,证明:数列na是等差数列(2021全国高考甲卷)。5、(理)记nS为na的前 n 项和,nb为数列nS的前 n 项积,已知2nS+1nb=2。(1)证明:数列nb是等差数列;(2)求数列na的通项公式。(文)设na是首项为 1 的等比数列,数列nb满足:nb=3nna,已知1a,32a,93a成等差数列。(1)求数列na,nb的通项公式;(2)记nS和nT分别为na,nb的前 n 项和,证明:nTna成立的 n 的最小值(2021 全国高考新高考 II 卷)。7、已知数列na中,1a=1,2a=3,2na+3na=41na
5、,bn=1na-na,nN。(1)求数列bn的通项公式;(2)记nc=3log(na+bn),数列nc的前 n 项和为nS,求nS(2021 成都市高三三诊)。8、设na是公比不为 1 的等比数列,1a为2a,3a的等差中项。(1)求na的公比;(2)若1a=1,求数列na的前 n 项和nS(2020 全国高考新课标 I 理)。9、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a=20,3a=8。(1)求数列na的通项公式;(2)记mb为na在区间(0,m(mN)中的项的个数,求数列mb的前 100 项和100S(2020 全国高考新高考 I)10、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a
6、=20,3a=8。(1)求数列na的通项公式;(2)求1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na(2020 全国高考新高考 II)11、(文)记nS为等差数列 na的前 n 项和,已知9S=-5a。(1)若3a=4,求数列 na的通项公式;(2)若1a0,求使得nSna的 n 的取值范围(2019 全国高考新课标 I)12、(理)已知数列 na和 nb满足1a=1,1b=0,41na=3na-nb+4,41nb=3nb-na-4。(1)证明:na+nb是等比数列,na-nb是等差数列;(2)求数列 na和 nb的通项公式。(文)已知 na是各项均为正数的等比数列,1a=2,3a=22a+16
7、。(1)求数列 na的通项公式;(2)设nb=2logna,求数列 nb的前 n 项和(2019 全国高考新课标 II)思考问题思考问题 1 1 (1)【典例 1】是等差数列,等比数列之间的综合问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题;(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d(或公比 q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题一般是求数列的前 n 项和,解答时应该分辨清楚数列是等差数列,还是等比数列,然后直接选用相应
8、的前 n 项和公式通过运算求出结果。【典例 2】解答下列问题:1、记nS为数列na的前 n 项和,已知1a=1,nnSa是公差为13的等差数列。(1)求数列na的通项公式;(2)证明:11a+21a+-+1na0,2na+2na=4nS+3。(1)求数列na的通项公式;(2)设nb=11nna a,求数列bn的前 n 项和。(文)已知等差数列na的前 n 项和nS满足:3S=0,5S=-5。(1)数列na的通项公式;(2)求数列21211nnaa的前 n 项和(2021 全国高考乙卷)。3、已知na是递增的等比列数,1a=1,且 22a,323a,4a成等差数列。(1)求数列na的通项公式;(
9、2)设nb=21221loglognnaa(nN),求数列bn的前 n 项和nS(2020 成都市高三二珍)4、已知等差数列na的前 n 项和为nS,且2a=2,11S=66.(1)求数列na的通项公式;(2)(理)若数列bn满足bn=11nna a,求证:1b+2b+-+bn1。(文)若数列bn满足bn=2na,求数列bn的前 n 项和nT(2017 成都市高三零珍)思考问题思考问题 2 2 (1)【典例 2】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公
10、式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d(或公比 q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是一个分式,分式的分子为常数,分母是几个连续整数的积这一结果特征,然后利用裂项相消法求出数列的前 n 项和。【典例 3】解答下列问题:1、(理)已知数列na满足:1a=-2,1na=2na+4.(1)证明数列na+4是等比数列;(2)求数列na的前 n 项和nS。(文)在等比数列na中,已知4a=81a,且1a,2a+1,3a成等
11、差数列。(1)求数列na的通项公式;(2)求数列|na-4|的前 n 项和nS(2017 成都市一珍)2、已知数列na的前 n 项和sn=22nn(nN)。(1)求数列na的通项公式;(2)设nb=2na+(1)nna,求数列nb的前 2n 项和nT。思考问题思考问题 3 3 (1)【典例 3】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;(2)第一小题一般是求通项公式的问
12、题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d(或公比 q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是几项的和,各项分别组合构成一个基本数列(等差数列或等比数列)的特征,然后利用拆项求和法求出数列的前 n 项和。【典例 4】解答下列问题:1、(理)设数列na满足1a=3,1na=3na-4n。(1)计算2a,3a,猜想数列na的通项公式并加以证明;(2)求数列2nna的前 n 项和nS(文)设等比数列na满足1a+2a=4,3a-1a=8。(1)求数列na的通项公式;(2)记nS为数列3logna的前 n 项和,若mS+1mS=3mS,求 m(2
13、020 全国高考新课标 III)。2、已知等比数列na的前 n 项和为nS,公比 q1,且2a+1 为1a,3a的等差中项,3S=14。(1)求数列na的通项公式;(2)记bn=na.2logna,求数列bn的前 n 项和nT(2019 成都市高三二诊)思考问题思考问题 4 4 (1)【典例 4】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;(2)第一小题一般是求通项公式的
14、问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d(或公比 q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是两个因式的积,其中一个因式分裂出来构成等差数列,另一个因式分裂出来构成等比数列的特征,然后利用错项相减法求出数列的前 n 项和。【典例 5】解答下列问题:1、记nS为数列na的前 n 项和,已知2nSn+n=2na+1。(1)证明:数列na是等差数列;(2)若4a,7a,9a成等比数列,求nS的最小值(2022 全国高考甲卷)2、设nS为等差数列na的前 n 项和,已知1a=-7,3S=-15。(1)求数列na的通项公式;(2)求nS,并求nS
15、的最小值(2018 全国高考新课标 II 卷(理)3、设 na是等差数列,1a=-10,2a+10,3a+8,4a+6 成等比数列。(1)求数列 na的通项公式;(2)记 na的前 n 项和为nS,求nS的最小值(2019 全国高考北京(文)思考问题思考问题 5 5 (1)【典例 5】是等差数列,等比数列之间的综合与求等差数列前 n 项和的最值问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,运用求函数最值的基本方法就可求出结
16、果;(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d(或公比 q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是求等差数列前 n 项和的最值问题,解答时注意等差数列前 n 项和是关于 n的二次函数,利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前 n 项和的最值。数列高考大题的类型与解法数列高考大题的类型与解法 数列问题也是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,都必有一个数列问题的12 分大题或两到三个数列问题的 5 分小题。从题型上看是 17 或 18 题的 12 分大题或选择题(也可能是填空题)的5 分小题;难度为中,低档题型,
17、一般的考生都会拿到 7 到 12 分;纵观近几年高考试卷,归结起来数列大题问题主要包括:等差数列与等比数列之间的综合,求基本数列(等差数列或等比数列)的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,运用裂项相消法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,运用拆项求和法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,运用错项相减法求数列的前 n 项和;等差数列与等比数列之间的综合,求数列前 n 项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通过典型例题的详细
18、解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题:1、已知数列na为等差数列,数列nb是公比为 2 的等比数列,且2a-2b=3a-3b=4b-4a。(1)证明:1a=1b;(2)求集合k|kb=ma+1a,1m500中元素个数(2022 全国高考新高考 II 卷)【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列定义与性质;等比数列定义与性质;等差数列通项公式及运用;等比数列通项公式及运用;表示集合的基本方法。【解题思路】【解题思路】(1)设等差数列na的首项为1a,公差为 d,等比数列nb首项为1b,根据等差数列和等比数列的性质,运用等差数列和等比数列的通项公式,结合问题条件得到关于1a,d,1b的方程
19、组,求解方程组求出1a,1b就可证明结论;(2)由(1)知1a=1b=2d,根据等差数列和等比数列的通项公式,结合问题条件得到 k 关于 m的表示式,由 m 的取值范围,求出 k 的取值范围,从而就可求出求集合k|kb=ma+1a,1m500中元素个数。【详细解答】【详细解答】(1)证明:设等差数列 na 的首项为1a,公差为 d,等比数列 nb 首项为1b,2a-2b=3a-3b=4b-4a,1a+d-21b=1a+2d-41b,d-21b=0,1a+2d-41b=81b-1a-3d,121b-21a-5d=0,联立得:21b-21a=0,1a=1b;(2)由(1)知1a=1b=2d,kb=
20、1b.12k=d.22k,ma+1a=2d+(m-1)d+2d=md,kb=ma+1a,d.22k=md,22k=m,1m500,122k500,0k-28,2k10,集合k|kb=ma+1a,1m500=2,3,4,5,6,7,8,9,10,集合k|kb=ma+1a,1m500中元素个数是 9 个。2、已知等差数列na满足 22a+5a=0,7a=24a-2。(1)求数列na的通项公式;(2)设nb=2na,求数列nb的前 n 项和(成都市 2019 级高三一诊)【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列定义与性质;等差数列通项公式及运用;数列前 n 项和定义与性质;求数列前 n 项和的基本方
21、法。【解题思路】【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用等差数列通项公式得到关于等差数列na的首项,公差的方程组,求解方程组求出数列na的首项,公差的值就可得出数列na的通项公式;(2)根据数列前 n 项和的性质,运用求数列前 n 项和的基本方法就可求出数列nb的前 n 项和。【详细解答】【详细解答】(1)设等差数列na的首项为1a,公差为 d,22a+5a=0,7a=24a-2,31a+6d=0,1a+6d=21a+6d-2,联立解得:1a=2,d=-1,数列na的通项公式为na=2+(n-1)(-1)=-n+3;(2)nb=2na=32n=312n,数列nb的前 n 项和为nS=22+2
22、+1+12+212+-+312n=14(1)2112n=8(1-12n)=8-312n。na+1,n 为奇数,3、已知数列na满足:1a=1,1na=na+2,n 为偶数。(1)记nb=2na,写出1b,2b,并求数列nb的通项公式;(2)求na的前 20 项和(2021 全国高考新高考 I)。【解析】【解析】【考点】【考点】数列递推公式及运用;等差数列的定义与性质;等差数列通项公式及运用;等差数列前 n 项和公式及运用;判断一个数列是等差数列的基本方法。【解题思路】【解题思路】(1)根据数列递推公式,结合问题条件求出1b,2b,运用判断一个数列是等差数列的基本方法,判断数列nb为等差数列,利
23、用等差数列的通项公式就可求出数列nb的通项公式;(2)由(1)知求数列na的奇项数列和偶项数列都是以 3 为公差的等差数列,运用等差数列的前 n 项和公式就可求出na的前 20 项和。【详细解答】【详细解答】(1)1a=1,nb=2na,1b=2a=1a+1=1+1=2,2b=4a=3a+1=2a+2+1=2+2+1=5,1nb=22na=21na+1=2na+2+1=2na+3,nb=2na,1nb-nb=2na+3-2na=3,数列nb是以 2 为首项,3 为公差的等差数列,nb=2+3(n-1)=3n-1,即数列nb的通项公式为:nb=3n-1;(2)由(1)知数列na的奇项数列和偶项数
24、列都是以 3 为公差的等差数列,20S=101+10 923+102+10 923=30+1093=300,即数列na的前 20 项和为 300。4、(理)已知数列na的各项均为正数,记nS为na的前 n 项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立。数列na是等差数列;数列nS是等差数列;2a=31a。注:若选择不同组合分别解答,则按第一个解答计分。(文)记nS为na的前 n 项和,已知na0,2a=31a,且数列nS是等差数列,证明:数列na是等差数列(2021全国高考甲卷)。【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列的定义与性质;等差数列通项公式及运用;等差数列前 n 项和公式及运用;
25、证明数列是等差数列的基本方法。【解题思路】【解题思路】(理)由题意,不妨选择为条件,证明成立,根据等差数列的性质和等差数列通项公式,结合问题条件得到关于等差数列na首项1a,公差 d 的等式,从而把首项1a表示为关于公差 d 的式子,运用等差数列前 n 项和公式得到nS关于公差 d 的式子,利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列nS是等差数列。(文)根据等差数列的性质和等差数列通项公式,结合问题条件得到关于等差数列nS公差 d,1a的等式,从而把公差 d 表示为关于首项1a的式子,运用等差数列前 n 项和公式得到nS关于数列首项1a的式子,从而得到nS关于数列首项1a的式子,利用证明数列
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