命题逻辑的基本概念 讲稿.ppt
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1、命题逻辑的基本概念第一页,讲稿共五十五页哦第1章命题逻辑的基本概念命题逻辑研究的是命题的推理演算命题逻辑的基本概念命题联结词合式公式、重言式自然语句的形式化2第二页,讲稿共五十五页哦命题逻辑的基本概念命题是一个非真即假(不可兼)的陈述句有两层意思,首先命题是一个陈述句,而命令句、疑问句和感叹句都不是命题其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假,而且不是真的就是假的,不能不真又不假,也不能又真又假凡与事实相符的陈述句为真浯句,而与事实不符的陈述句为假语句这说是说,一个命题具有两种可能的取值(又称真值),为真或为假,并且只能取其一通常用大写字母T表示真值为真,用F表示真值为假因为只有两种取值
2、,所以这样的命题逻辑称为二值逻辑3第三页,讲稿共五十五页哦举例说明(1)“雪是白的”命题,(2)“雪是黑的”命题(3)“好大的雪啊”不是陈述句,不是命题(4)“一个偶数可表示成两个素数之和”是命题,或为真或为假,只不过当今尚不知其是真命题还是假命题(5)“1+10l110”这是一个数学表达式,相当于一个陈述句,可以叙述为“1加101等于110,这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假,而在二进制范围中真值为真可见,这个命题的真值与所讨论问题的范围有关4第四页,讲稿共五十五页哦命题变项为了对命题作逻辑演算,采用数学手法将命题符号化(形式化)是十分重要的约定用大写字母表示命题,如以户表示“雪是白
3、的”,Q表示“北京是中国的首都”等当P表示任一命题时,P就称为命题变项(变元)命题与命题变项含义是不同的,命题指具体的陈述句,是有确定的真值,而命题变项的真值不定,只当将某个具体命题代入命题变项时,命题变项化为命题,方可确定其真值,命题与命题变项像初等数学中常量与变量的关系一样如5是一个常量,是一个确定的数字,而x是一个变量,赋给它一个什么值它就代表什么值,即x的值是不定的5第五页,讲稿共五十五页哦简单命题和复合命题简单命题又称原子命题,它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题如111中所举的命题例子都是简单命题这样的命题不可再分割,如再分割就不是命题了而像命题“雪是白的而且l+l2”,就不
4、是简单命题,它可以分割为“雪是白的”以及“1十12”两个简单命题,联结词是“而且”在简单命题中,尽管常有主语和谓语,但我们不去加以分割,是将简单命题作为一个不可分的整体来看待,进而作命题演算在谓词逻辑里,才对命题中的主谓结构进行深入分析6第六页,讲稿共五十五页哦复合命题把一个或几个简单命题用联结词(如与、或、非)联结所构成的新的命题称为复合命题复合命题自然也是陈述句,其真值依赖于构成该复合命题的各简单命题的真值以及联结词,从而复合命题有确定的真值如“张三学英语和李四学日语”就是一个复合命题,由简单命题“张三学英语”“李四学日语”经联结词“和”联结而成,这两个简单命题真值均为真时,该复合命题方为
5、真命题逻辑所讨论的是多个命题联结而成的复合命题的规律性7第七页,讲稿共五十五页哦内容/形式在数理逻辑里,仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句,所关心的并不是这些具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境下是真还是假,这是有关学科本身研究的问题,而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这样的可能性,以及规定了真值后怎样与其他命题发生联系8第八页,讲稿共五十五页哦命题联结词及真值表联结词可将命题联结起来构成复杂的命题,命题逻辑联结词的引入是十分重要的,其作用相当于初等数学里在实数集上定义的十、一、等运算符通过联结词便可定义新的命题,从而使命题逻辑的内容变得丰富起来,复合命题的真值可由组成它的简单命
6、题的真值所确定值得注意的是逻辑联结词与日常自然用语中的有关联结词的共同点和不同点9第九页,讲稿共五十五页哦常用的逻辑联结词否定词“”是个一元联结词,亦称否定符号一个命题P加上否定词就形成了一个新的命题,记作P,这个新命题是命题的否定,读作非P否定词的真值规定如下:若命题P的真值为真,那么P的真值就为假;若P的真值为假,那么P的真值就为真P与P间的真值关系,常常使用称作真值表的一种表格来表示.10第十页,讲稿共五十五页哦P的定义真值表PPTFFT11第十一页,讲稿共五十五页哦例1“昨天张三去看球赛了”该命题以P表示,于是“昨天张三没有去看球赛”,该新命题便可用P表示若昨天张三去看球赛了,命题P是
7、真的,那么新命题P必然是假的反之,若命题P是假的,那么P就是真的12第十二页,讲稿共五十五页哦例2Q:今天是星期三Q:今天不是星期三然而Q不能理解为“今天是星期四”,因为“今天是星期三”的否定,并不一定必是星期四,还可能是星期五、星期六13第十三页,讲稿共五十五页哦合取词合取词是个二元命题联结词,亦称合取符号将两个命题P,Q联结起来,构成一个新的命题PQ,读作PQ的合取,也可读作P与Q这个新命题的真值与构成它的命题P,Q的真值间的关系,由合取词真值表来规定14第十四页,讲稿共五十五页哦合取词真值表PQPQFFFFTFTFFTTT只有当两个命题变项PT,Q=T时方有PQT,而P,Q只要有一为F,
8、则PQ=FPQ可用来表示日常用语P与Q,或P并且Q15第十五页,讲稿共五十五页哦例3P:教室里有10名女同学Q:教室里有15名男同学不难看出,命题PQ:“教室里有10名女同学与15名男同学”16第十六页,讲稿共五十五页哦例4A:今天下雨了B:教室里有100张桌子。可知AB就是命题“今天下雨了并且教室里有100张桌子”17第十七页,讲稿共五十五页哦注意日常自然用语里的联结词“和”、“与”、“并且”,一般是表示两种同类有关事物的并列关系而在逻辑语言中仅考虑命题与命题之间的形式关系并不顾及日常自然用语中是否有此说法这样,“”同“与”、“并且”又不能等同视之日常自然用语中说,“这台机器质量很好,但是很
9、贵”,这句话的含义是说同一台机器质量很好而且很贵若用P表示“这台机器质量很好”,用Q表示“这台机器很贵”,那么这句话的逻辑表示就是PQ,尽管这句话里出现的联结词是“但是”总之,合取词有“与”、“并且”的含义,逻辑联结词是自然用语中联结词的抽象,两者并不等同,这是需注意的18第十八页,讲稿共五十五页哦析取词析取词“”是个二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题PQ,读作P、Q的析取,也读作P或Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系,19第十九页,讲稿共五十五页哦析取词真值表PQPQFFFFTTTFTTTT当P、Q有一取值为T时,PQ便为T。仅当P、Q均取F值时,
10、PQ方为F。这就是析取词的定义,PQ可用来表示自然用语P或Q。20第二十页,讲稿共五十五页哦例例5:P:今天刮风。Q:今天下雨。命题“今天刮风或者下雨”便可由PQ来描述了。例6:A:2小于3。B:雪是黑的。AB就是命题“2小于3或者雪是黑的”。由于2小于3是真的,所以AB必取值为真,尽管“雪是黑的”这命题取假。21第二十一页,讲稿共五十五页哦蕴涵词蕴涵词“”也是个二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题PQ,读作如果P则Q,或读作P蕴涵Q,如果P那么Q,其中P称前件(前项、条件),Q称后件(后项、结论)。规定只有当P为T而Q为F时,PQ=F。而P=F、Q任意,或P=T、Q=T
11、时PQ均取值为T。22第二十二页,讲稿共五十五页哦真值表PQPQFFTFTTTFFTTTPQ=T下,若P=T必有Q=T,而不会出现Q=F,这表明PQ体现了P是Q成立的充分条件。PQ=T下,若P=F可有Q=T,这表明PQ体现了P不必是Q成立的必要条件。23第二十三页,讲稿共五十五页哦因果关系引入的目的是希望用来描述命题间的推理,表示因果关系。使用PQ能描述推理。即PQ为真时,只要P为真必有Q真,而不能出现P真而Q假就够了。至于P为假时,Q取真取假,并不违背P为真时Q必真。从而仍可规定P为假时,PQ取真。当P=F时对PQ真值的不同定义方式将给推理的讨论带来不同的表示形式,也是允许的。24第二十四页
12、,讲稿共五十五页哦PQ=PQPQPQFFTFTTTFFTTT在P、Q的所有取值下,PQ同PQ都有相同的真值:PQ=PQ(真值相同的等值命题以等号联结)。这也说明可由、来表示,从逻辑上看“如果P则Q”同“非P或Q”是等同的两个命题。25第二十五页,讲稿共五十五页哦如果那么蕴涵词与自然用语“如果那么”有一致的一面,可表示因果关系。然而P、Q是无关的命题时,逻辑上允许讨论PQ。并且P=F则PQ=T,这在自然用语中是不大使用的。26第二十六页,讲稿共五十五页哦例7:P:n3(n为整数)Q:n29命题PQ表示“如果n3那么n29”,分析PQ的真值。1.P=Q=T。这时如n=43,有n2=169,这符合事
13、实PQ=T,正是我们所期望的可以PQ表示P、Q间的因果关系,这时规定PT是自然的。2.P=T,Q=F。如n3而n29这是不会成立的,也可用PQ表示P、Q间的因果关系是不成立的,自然规定PQ=F。3.P=F而Q=F或T。如n=23有n2=40n=-49由于前提条件n3不成立,而n29成立与否并不重要,都不违反对自然用语“如果n3那么n29”成立的肯定。于是P=F时可规定PQ=T。当然在肯定了1,2的情况下,对P=F时PQ的值另作规定也是可以的,同样不违反自然语句“如果那么”可以用PQ来描述。总之,对PQ的这种说明是可接受的,但也不是说仅只有这样的解释才是合理的。27第二十七页,讲稿共五十五页哦例
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