基数的概念精选PPT.ppt
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1、关于基数的概念第1页,讲稿共31张,创作于星期日关于闭合还有其他的等价叙述,关于闭合还有其他的等价叙述,1)除除了了有有限限次次应应用用(1)和和(2)产产生生集集合合A的的元元素素外外,A中再没有其它元素。中再没有其它元素。2)集合集合A是满足是满足(1)和和(2)的最小集合。的最小集合。3)集集合合A满满足足(1)和和(2),但但不不存存在在A的的真真子子集集能能满满足足(1)和和(2),即即若若S A,且且S满满足足(1)和和(2),则则S=A。4)集集合合A是是满满足足由由(1)和和(2)给给定定性性质质的的所所有有集集合之交。合之交。以以上上四四种种闭闭合合的的说说法法虽虽然然形形式
2、式上上不不同同,但但它它们是等价的。证明从略。们是等价的。证明从略。第2页,讲稿共31张,创作于星期日例例:设设整整数数集集Z是是全全集集,非非负负偶偶整整数数集集E+=x|x0,且且x=2y,y Z,它可以递归定义如下它可以递归定义如下:(1)(基础基础)0 E+。(2)(归纳归纳)如果如果n E+,则则n+2 E+。(3)(闭闭合合)除除有有限限次次应应用用(1)和和(2)产产生生的的整整数数外外,再再没没有其它的整数在有其它的整数在E+中。中。例:下面的归纳定义所给出的是怎样的集合?例:下面的归纳定义所给出的是怎样的集合?(1)(基础基础)3 S。(2)(归纳归纳)如果如果x,y S,则
3、则x+y S。(3)(闭闭合合)除除有有限限次次应应用用(1)和和(2)产产生生的的整整数数外外,再再没没有有其其它它的整数在的整数在S中。中。答案是答案是3的正整数倍全体。的正整数倍全体。第3页,讲稿共31张,创作于星期日例例:设设是是一一个个有有限限非非空空字字符符集集,称称为为字字母母表表。从从中中选选取取有限个字符组成的串称为有限个字符组成的串称为上的字符串或字。上的字符串或字。设设x是是上上的的一一个个字字,x=a1a2an,其其中中ai,1in,n是是正正整整数数,表示字的长度表示字的长度长度为长度为0的字称为空串的字称为空串,记为记为。若若 x,y是是上上 的的 两两 个个 字字
4、,x=a1a2an,y=b1b2bm,其其 中中ai,bj(1in,1jm),则由则由x和和y毗连得到新的字记为毗连得到新的字记为xy。即即:xy=a1a2an b1b2bm。第4页,讲稿共31张,创作于星期日例例:设设是是一一个个字字母母表表,上上所所有有的的有有限限非非空空字字符符串串集集合合记为记为+,递归定义如下递归定义如下:(1)(基础基础)如果如果a,则则a+。(2)(归归纳纳)如如果果x+,且且a,则则ax+(ax表表示示字字符符a与与字字x毗连得到的新的字毗连得到的新的字)。(3)(闭闭合合)除除有有限限次次应应用用(1)和和(2)产产生生+中中的的字字外外,+中再没有其它字。
5、中再没有其它字。集集合合+包包含含长长度度为为1,2,3,的的字字,即即+包包含含无无限限个个字字,但每个字的字符个数是有限的。但每个字的字符个数是有限的。第5页,讲稿共31张,创作于星期日例例:设设是是一一个个字字母母表表,上上所所有有的的有有限限字字符符串串集集合合记记为为*,*包含空串,即包含空串,即*=+,可递归定义如下可递归定义如下:(1)(基础基础)*。(2)(归纳归纳)如果如果x*,且且a,则则ax*。(3)(闭闭合合)除除有有限限次次应应用用(1)和和(2)产产生生*中中的的字字外外,*中中再没有其它字。再没有其它字。例如例如,若若=0,1,则则*=,0,1,00,01,10,
6、11,000,001,是有限二进制序列的集合是有限二进制序列的集合,其中包含空序列。其中包含空序列。第6页,讲稿共31张,创作于星期日算算术术表表达达式式集集合合是是包包含含整整数数,一一元元运运算算符符+,-,以以及及二二元元运运算算符符+,-,*,/的的符符号号序序列列所所组组成成的的集集合合,其其中中包包含含如如“(3+5)/4)”,“(-5)+6)*3)”等算术表达式。等算术表达式。算术表达式集合的递归定义如下算术表达式集合的递归定义如下:(1)(基基础础)如如果果D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9和和x D+,则则x是是算算术术表达式。其中表达式。其中D+是是D上所有非空数字
7、串的集合。上所有非空数字串的集合。(2)(归纳归纳)如果如果x和和y都是算术表达式都是算术表达式,则则(+x)是算术表达式是算术表达式;(-x)是算术表达式是算术表达式;(x+y)是算术表达式是算术表达式;(x-y)是算术表达式是算术表达式;(x*y)是算术表达式是算术表达式;(x/y)是算术表达式。是算术表达式。(3)(闭闭合合)一一个个符符号号序序列列是是一一个个算算术术表表达达式式当当且且仅仅当当它它能能通过有限次应用通过有限次应用(1)和和(2)而得到。而得到。第7页,讲稿共31张,创作于星期日下面给出自然数集下面给出自然数集(即非负整数集即非负整数集)的定义。的定义。由由于于自自然然
8、数数的的加加法法定定义义必必须须建建立立在在自自然然数数集集N上上,所所以以不不能能用用加加法法运运算算来来形形式式地地定定义义自自然然数数集集N,否否则则将将会会产产生生循循环环。为为了了避避免免这这种种定定义义上上的的循循环环,我我们们引引进进后后继继集合的概念集合的概念:设设A是是任任一一给给定定集集合合,AA称称为为A的的后后继继集集合合,简称后继简称后继,记为记为A+。4-4.2 自然数集的定义自然数集的定义第8页,讲稿共31张,创作于星期日定义定义4-4.2:设设N为自然数集为自然数集,它的递归定义如下它的递归定义如下:(1)(基础基础)N。(2)(归纳归纳)如果如果n N,则则n
9、+N(这里这里n+=nn)。(3)(闭合闭合)如果如果S N,且且S满足满足(1)、(2),则则S=N。按按 照照 这这 个个 定定 义义,自自 然然 数数 集集 的的 元元 素素 为为:,+,(+)+,(+)+)+,即即为为:,可以简化为可以简化为:,。用记号用记号:=给这些集合命名给这些集合命名,例如例如命名为数命名为数0,记为记为0:=。0:=;1:=0+=0;2:=1+=,=0,1;3:=2+=,=0,1,2;一般地一般地,若已给出若已给出n,则则n+1:=n+=0,1,2,n第9页,讲稿共31张,创作于星期日自自然然数数集集N=0,1,2,3,其其中中除除0外外每每一一个个自自然然数
10、数是是它它前前一一个个自然数的后继。自然数的后继。定理定理4-4.1:(1)0不是任何自然数的后继。不是任何自然数的后继。(2)任何自然数的后继是唯一的。任何自然数的后继是唯一的。(3)如果如果n+=m+,则则n=m。证明从略。证明从略。贝安诺贝安诺(G.Peano)公理公理(1)0 N;(2)对每一个对每一个n N,恰存在一个恰存在一个n+N(称称n+为为n的后继的后继);(3)不存在一个不存在一个n N,使使n+=0;(4)如果如果n+=m+,则则n=m;(5)如果如果S N,且且0 S;如果如果n S,就必有就必有n+S,则则S=N。第10页,讲稿共31张,创作于星期日4-4.3 基数基
11、数4-4.3.1 基数概念基数概念首先我们从古老的传说来引进个数。首先我们从古老的传说来引进个数。在在64个小方格组成的棋盘中放米的问题:个小方格组成的棋盘中放米的问题:印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔,印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔,达达依依尔尔要要求求:“在在棋棋盘盘的的第第一一个个方方格格内内放放一一粒粒米米,以以后后每每一一小小格格内内都都比比前前一一小小格格加加一一倍倍,最最后后摆摆满满所有所有64格,将这些米赏给我格,将这些米赏给我”。国王认为他的要求不高,爽快地答应了。国王认为他的要求不高,爽快地答应了。可结果却无法满足。可结果却无法满足。1+2+22+263=
12、264-1,约合约合140亿升亿升第11页,讲稿共31张,创作于星期日所有整数的个数,一条线上所有几何点个数所有整数的个数,一条线上所有几何点个数(即区间即区间a,b上个数上个数),上上面面两两个个数数哪哪个个大大些些?这这个个问问题题最最初初是是由由Cantor提提出出的。的。从原始部落物品交换中得到启发。从原始部落物品交换中得到启发。在在古古代代原原始始部部落落中中,不不存存在在比比3大大的的数数,若若问问他他们们当当中中的的一一个个人人有有几几个个孩孩子子,当当孩孩子子多多于于3个个时时,其其回回答是很多。答是很多。在在比比较较一一堆堆珠珠子子和和一一堆堆铜铜币币哪哪个个多多时时,他他们
13、们将将怎怎么么完完成成呢呢?他他们们是是通通过过把把珠珠子子和和铜铜币币逐逐个个比比较较,最最后后看看哪哪堆堆有有多余,若同时没有则两者相同。多余,若同时没有则两者相同。第12页,讲稿共31张,创作于星期日对对于于无无穷穷大大数数比比较较,我我们们面面临临的的也也类类似似于于原原始始部部落落问问题。题。Cantor的的解解决决办办法法与与上上述述方方法法相相同同:给给两两组组元元素素无无穷穷多多的的序序列列中中的的各各个个数数一一一一配配对对,若若最最后后这这两两组组元元素素恰恰配配对对完完毕毕,则则认认为为这这两两个个无无穷穷大大数数就就是是相相等等的的,若若有有一一组组还还没没配配完完,则
14、则该该组组就就比比另一组大。另一组大。正正是是基基于于这这一一基基本本设设想想,我我们们可可给给出出对对于于两两个个集集合合比比较较其元素个数大小的方法。其元素个数大小的方法。第13页,讲稿共31张,创作于星期日定定义义4-4.3:设设A,B是是任任意意两两个个集集合合,若若存存在在一一个个双双射射f:AB,则则称称A和和B是是等等势势的的(或或同同浓浓的的),记为记为AB。例题例题1(P162)例题例题2定理定理4-4.2 在集合族上等势关系是等价关系。在集合族上等势关系是等价关系。第14页,讲稿共31张,创作于星期日4-4.3.2 无限集无限集定定义义4-4.4:设设A为为一一个个集集合合
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