线性空间与线性变换幻灯片.ppt
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1、线性空间与线性变换第1页,共84页,编辑于2022年,星期二知识脉络图解知识脉络图解集合与映射线性子空间基本性质基与维数元素的坐标线性空间的定义生成子空间基变换与坐标变换子空间的交与和子空间的直和线性空间分解为子空间的直和同构映射线性空间的同构 向量空间第2页,共84页,编辑于2022年,星期二重点、难点解读重点、难点解读 线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构,线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构,即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭,并满足八条算即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭,并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一律的集合
2、定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念,我们就可以用统一的方法来处理次新的飞跃。有了这一概念,我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。许多数学对象。本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在确本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在确定了有限维线性空间的基之后,一方面明晰了线性空间定了有限维线性空间的基之后,一方面明晰了线性空间的结构(由基生成整个线性空间),另一方面将线性空的结构(由基生成整个线性空间),另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与间中抽象的元素及规定的运算与 中具体的向量及向中具体的向量及向量的运算相对应,因此可归结为对量的运算相对应,因
3、此可归结为对 中向量的讨论,中向量的讨论,即它们具有相同的代数结构。即它们具有相同的代数结构。第3页,共84页,编辑于2022年,星期二 本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能够将一本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和,则这个线性空间的研个线性空间分解为若干个子空间的直和,则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究。应掌握直和的概念究就归结为若干个较简单的子空间的研究。应掌握直和的概念和等价条件。和等价条件。一、线性空间的判定一、线性空间的判定1、线性空间的定义、线性空间的定义 对于线性空间的定义,我们应注意以下几点:对于线性空
4、间的定义,我们应注意以下几点:线性空间具有一般性,其中的元素不一定是通常意线性空间具有一般性,其中的元素不一定是通常意义下的向量,可以是数、矩阵、多项式、函数等。义下的向量,可以是数、矩阵、多项式、函数等。线性空间具有抽象性,这主要体现在两个运算上,其中加线性空间具有抽象性,这主要体现在两个运算上,其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法与数乘运算,之所以这样称呼,是因为所定义的这两种运算满足与数乘运算,之所以这样称呼,是因为所定义的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同通常的加法与数
5、乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两种运算,所构成的线性空间是不一数域上按不同规则来定义这两种运算,所构成的线性空间是不同的。同的。第4页,共84页,编辑于2022年,星期二 线性空间定义中,当取不同的数域时,线性空间的定线性空间定义中,当取不同的数域时,线性空间的定义形式不改变,但线性空间中的一些性质,如线性相关性、维义形式不改变,但线性空间中的一些性质,如线性相关性、维数等,一般要改变。数等,一般要改变。要验证一个非空集合是线性空间,除了需要验证其元素对所要验证一个非空集合是线性空间,除了需要验证其元素对所规定的加法与数乘运算封闭外,还需逐一验证这两种运算
6、应满足规定的加法与数乘运算封闭外,还需逐一验证这两种运算应满足的八条算律;而要否定一个非空集合是线性空间,只要说明两个的八条算律;而要否定一个非空集合是线性空间,只要说明两个封闭性及八条算律中有一条不成立即可。封闭性及八条算律中有一条不成立即可。2、线性空间的简单性质、线性空间的简单性质 (1)零元素)零元素 是唯一的;是唯一的;(2)任意元素)任意元素 的负元素的负元素 是唯一的;是唯一的;(3)(4)如果)如果 ,则,则 或或第5页,共84页,编辑于2022年,星期二 (1)V 是实数域上的线性空间;并指出什么函数是是实数域上的线性空间;并指出什么函数是零元素;零元素;的负元素是什么函数;
7、的负元素是什么函数;(2)证明:)证明:V 不是有限维线性空间。不是有限维线性空间。证证 首先可证首先可证V关于加法与数乘封闭。关于加法与数乘封闭。显然,显然,和和 仍为定义在闭区间仍为定义在闭区间 上的实函数,上的实函数,所以,所以,再验证加法应满足的再验证加法应满足的4条算律:条算律:有有 例例1、设、设V 是定义在闭区间是定义在闭区间 上所有实函数的集上所有实函数的集合,在合,在V 上定义的加法为:对上定义的加法为:对 为函数为函数定义实数定义实数 乘函数乘函数 为为第6页,共84页,编辑于2022年,星期二这这4条中,只证条中,只证 ,对,对 ,有,有 最后验证数乘满足的最后验证数乘满
8、足的4条算律:条算律:也只证第一式。对也只证第一式。对 ,有,有规定零函数为规定零函数为则则规定规定 的负元素为的负元素为则则第7页,共84页,编辑于2022年,星期二 综上即证综上即证V 是是R上的线性空间,零元素是零函数,即上的线性空间,零元素是零函数,即 的负元素为的负元素为 (2)下证)下证 ,即证存在任意多个线性无关,即证存在任意多个线性无关的函数。令的函数。令即即V 不是有限维线性空间。不是有限维线性空间。则可证则可证 线性无关,由于线性无关,由于 任意大,所以任意大,所以而而故故第8页,共84页,编辑于2022年,星期二 例例2、设、设 是数域是数域P上的线性空间,对上的线性空间
9、,对规定规定 (1)证明:)证明:关于以上运算构成关于以上运算构成P上的线性空间;上的线性空间;(2)设)设 ,求,求 证证 (1)由加法的定义知)由加法的定义知 对加法封闭,并容对加法封闭,并容易验证加法满足交换律与结合律。且易验证加法满足交换律与结合律。且 设设 分别是分别是 中的零元,则中的零元,则 是是 的的零元。零元。对对 存在存在使得使得第9页,共84页,编辑于2022年,星期二 其次由数乘的定义知其次由数乘的定义知 对数乘封闭,且对数乘封闭,且都成立。所以都成立。所以 是是P上的线性空间。上的线性空间。(2)设)设 是是 的一组基,的一组基,是是 的一组基。令的一组基。令先证先证
10、 个向量个向量 ,线性无关。令,线性无关。令第10页,共84页,编辑于2022年,星期二即即于是于是故故 线线性无关。性无关。又对又对 ,有,有 ,其中,其中有有从而从而即即 可由可由 线性表示,它们为线性表示,它们为 的一的一组基,组基,从而从而第11页,共84页,编辑于2022年,星期二二、线性子空间的判定二、线性子空间的判定1、线性子空间的概念、线性子空间的概念 设设V 是数域是数域P上的线性空间,上的线性空间,W是是V 的一个非空子集合,的一个非空子集合,如果如果W对于对于V 的两种运算也构成的两种运算也构成P上的线性空间,则称上的线性空间,则称W为为V 的一个线性子空间。的一个线性子
11、空间。由由V的一组元素的一组元素 的所有可能的线性组合的所有可能的线性组合构成的集合构成的集合构成构成V的一个子空间,称之为由的一个子空间,称之为由 生成的子空生成的子空间,记为间,记为 验证线性空间验证线性空间V的非空子集的非空子集W是否构成子空间,只要是否构成子空间,只要验证验证W对于对于V的两种线性运算的封闭性。的两种线性运算的封闭性。第12页,共84页,编辑于2022年,星期二2、线性子空间的有关结果、线性子空间的有关结果 (1)如果数域)如果数域P上的线性空间上的线性空间V的非空子集的非空子集W对于对于V的的两种线性运算封闭,即对于任意两种线性运算封闭,即对于任意 有有 又又对于任意
12、对于任意 有有 ,则,则W是是V的子空间。的子空间。(2)设()设():):和(和():):是是线性空间线性空间V中的两组元素,如果元素组(中的两组元素,如果元素组()可由()可由()线性表示,则线性表示,则而而 的充分必要条件是元的充分必要条件是元素组(素组()与()与()等价。)等价。(3)设)设 和和 是线性空间是线性空间V的两个子空间,则它们的两个子空间,则它们的交的交 也是也是V的子空间。的子空间。注注 两个子空间的并一般未必是子空间。两个子空间的并一般未必是子空间。第13页,共84页,编辑于2022年,星期二 例例1、设、设 是数域是数域P上全体上全体 维向量组成的线性空维向量组成
13、的线性空间,证明:间,证明:的任意子空间的任意子空间W,必至少是一个,必至少是一个 元齐元齐次线性方程组的解空间。次线性方程组的解空间。证证 设设 ,取,取W的一组基的一组基 ,则,则其中其中 为为 维列向量。令维列向量。令则则 ,作齐次线性方程组,作齐次线性方程组可得它的基础解系可得它的基础解系 (其中(其中 为为 维列向量),维列向量),则有则有 即即 令令作齐次线性方程组作齐次线性方程组第14页,共84页,编辑于2022年,星期二由于由于 ,所以,所以 的解空间是的解空间是 维的。由维的。由知知 为为元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的解空间的一组基。的解空间的一组基。故故W是是 的解空
14、间。的解空间。例例2、设、设 是是 维线性空间维线性空间V的真子空间。的真子空间。证明证明V中必有向量不在所有中必有向量不在所有 个空间中。个空间中。证证 对对 用数学归纳法。用数学归纳法。时,结论显然正确。时,结论显然正确。若若 ,得证。,得证。否则,否则,必存在,必存在 。我们证明存在正整数我们证明存在正整数使使 对所有的对所有的 成立。成立。设结论对设结论对 成立,证明结论对成立,证明结论对 亦成立。由归纳假亦成立。由归纳假设,存在设,存在 首先注意首先注意 。否则,我们有。否则,我们有 ,矛盾。,矛盾。我们证明上述断言成立,只需证明存在正整数我们证明上述断言成立,只需证明存在正整数 ,
15、使,使对对 成立即可。成立即可。第15页,共84页,编辑于2022年,星期二 否则对任意的正整数否则对任意的正整数 ,都存在,都存在 使使 。取取 是是 个不同的正整数,则个不同的正整数,则是是 中的某个数。中的某个数。于是必存在于是必存在 ,使,使 ,故故即即其中其中于是于是这与这与 矛盾。矛盾。三、线性(子)空间的基与维数三、线性(子)空间的基与维数 设设V 是数域是数域P上的线性空间。如果上的线性空间。如果V 中有中有 个元素个元素线性无关,且线性无关,且 ,可由可由唯一线性表示,即唯一线性表示,即则称则称 为为V的一组基,的一组基,称为线性空间称为线性空间V的维的维数,数,称称 在基在
16、基 下的坐标。记为下的坐标。记为第16页,共84页,编辑于2022年,星期二 设设 是线性空间是线性空间V中的一组元素,则中的一组元素,则且元素组且元素组 的任一极大线性无关组都是生成的任一极大线性无关组都是生成子空间子空间 的基。的基。设设W是数域是数域P上上 维线性空间维线性空间V的一个的一个 维子空间,维子空间,是是W的一组基,则这组元素必可扩充成的一组基,则这组元素必可扩充成V的一组基。即在的一组基。即在V中必可找到中必可找到 个元素个元素使得使得 是是V的一组基。的一组基。例例1、已知向量空间、已知向量空间(1)求)求V的基和维数;的基和维数;(2)求)求V的一组标准正交基。的一组标
17、准正交基。第17页,共84页,编辑于2022年,星期二 解解 由由V的构成可知,的构成可知,V是是4元齐次线性方程组元齐次线性方程组的解空间,它的基就是该方程组的基础解系。因为的解空间,它的基就是该方程组的基础解系。因为故它的基础解系为故它的基础解系为所以,所以,V是是2维向量空间,维向量空间,是是V的一组基。的一组基。由由Schmidt正交化方法,可求得正交化方法,可求得V的标准正交基的标准正交基第18页,共84页,编辑于2022年,星期二 例例2、设线性空间、设线性空间V中的元素组中的元素组 线性无关。线性无关。求元素组求元素组 生成的线性空间生成的线性空间W的一组基以及的一组基以及W的维
18、数。的维数。解解 令令因为因为又又则则 线性相关。线性相关。由于由于A 的左上角有一个的左上角有一个3阶子式不为零,故阶子式不为零,故 线性无关。线性无关。所以,所以,为为W的一组基,且的一组基,且第19页,共84页,编辑于2022年,星期二 解解 设设 和和 的解空间分别为的解空间分别为因为因为 的解一定是的解一定是 的解,此即的解,此即又有又有 ,根据题设知,根据题设知,例例3、设方阵、设方阵 与与 的秩相等,证明:的秩相等,证明:元线性方元线性方程组程组 和和 同解。同解。所以所以故故 此即结论成立。此即结论成立。例例4、若以、若以 表示实系数多项式,试证:表示实系数多项式,试证:是实数
19、域上的线性空间,并求出它的一组基。是实数域上的线性空间,并求出它的一组基。证证 记记 为实系数多项式的全体,且为实系数多项式的全体,且 是是R上上的线性空间。的线性空间。第20页,共84页,编辑于2022年,星期二有有从而从而故故即证即证W是是 的子空间。的子空间。从而从而W为实数域上的线性空间。为实数域上的线性空间。任取任取 ,则由,则由 知知即即代入代入 得得令令由于由于且且所以所以由由式表明式表明 可由可由线性表示。线性表示。因为因为 ,所以,所以W非空。非空。第21页,共84页,编辑于2022年,星期二整理得整理得由由 线性无关得线性无关得 ,故,故线性无关。线性无关。综上可知综上可知
20、 为为W的一组基,且的一组基,且四、求子空间的交与和的基与维数四、求子空间的交与和的基与维数1、子空间的和、子空间的和 设设 与与 是线性空间是线性空间V的两个子空间,集合的两个子空间,集合称为称为 与与 的和,记为的和,记为下证下证 线性无关。令线性无关。令第22页,共84页,编辑于2022年,星期二 (2)维数定理)维数定理 设设 和和 是线性空间是线性空间V的两个子的两个子空间,则空间,则3、求子空间的交与和的基与维数的方法、求子空间的交与和的基与维数的方法 设设 和和 是线性空间是线性空间V的两个子空间,为求出的两个子空间,为求出 与与 的基与维数,一般先将的基与维数,一般先将 与与
21、用生成子空间用生成子空间来表示,即来表示,即 此时易知此时易知2、子空间的和的有关结论、子空间的和的有关结论 (1)设)设 与与 是线性空间是线性空间V的两个子空间,则的两个子空间,则 也是也是V的子空间。的子空间。第23页,共84页,编辑于2022年,星期二为求为求 的基与维数,可设的基与维数,可设 ,即,即且且 ,于是,于是从而从而可见问题转化为确定满足上述条件的可见问题转化为确定满足上述条件的 和和 另外,也可利用维数公式另外,也可利用维数公式可见求可见求 的基与维数可转化为求元素组的基与维数可转化为求元素组的极大线性无关组与秩。的极大线性无关组与秩。第24页,共84页,编辑于2022年
22、,星期二 例例1、若、若 维线性空间的两个子空间的和的维数减维线性空间的两个子空间的和的维数减1等于它们交的维数。证明:它们的和与其中之一个子空等于它们交的维数。证明:它们的和与其中之一个子空间相等,它们的交与其中另一个子空间相等。间相等,它们的交与其中另一个子空间相等。证证 设这两个子空间分别为设这两个子空间分别为 和和 ,由假设可得,由假设可得设设 ,由式,由式有有于是于是 只有两种可能:只有两种可能:(1)当)当 时,有时,有但但从而从而此时此时故故 即证结论。即证结论。第25页,共84页,编辑于2022年,星期二 (2)当)当 时,由式时,由式知知但但从而从而故故于是于是结论也得证。综
23、上可知结论成立。结论也得证。综上可知结论成立。例例2、设、设V是复数域上是复数域上 维线性空间,维线性空间,和和 各为各为V的的 维和维和 维子空间,试求维子空间,试求 之维数的一切可能之维数的一切可能值。值。解解 设设 的一组基的一组基 ,再取,再取 的一组基的一组基则则而而故故第26页,共84页,编辑于2022年,星期二四、求过渡矩阵及坐标四、求过渡矩阵及坐标1、过渡矩阵的概念、过渡矩阵的概念 设设V是数域是数域P上的上的 维线性空间,维线性空间,和和是是V的两组基,它们之间的关系式的两组基,它们之间的关系式称为基变换公式。基变换公式可形式地写为称为基变换公式。基变换公式可形式地写为其中其
24、中 称为由基称为由基 到到 的的过渡矩阵。过渡矩阵。第27页,共84页,编辑于2022年,星期二2、过渡矩阵的有关结论、过渡矩阵的有关结论(1)过渡矩阵都是可逆的;)过渡矩阵都是可逆的;3、坐标变换公式、坐标变换公式 (2)如果由基)如果由基 到到 的过渡矩的过渡矩阵为阵为 ,则由基,则由基 到到 的过渡矩的过渡矩阵为阵为 设设V是数域是数域P上的上的 维线性空间,维线性空间,是由是由V的基的基 到基到基 的过渡矩阵,则的过渡矩阵,则V中元素中元素 在基在基下的坐标下的坐标和在基和在基下的坐标下的坐标 满足关系式满足关系式或或第28页,共84页,编辑于2022年,星期二 例例1、设、设 的两组
25、基为的两组基为()()(1)求由基()求由基()到基()到基()的过渡矩阵;)的过渡矩阵;(2)求在基()求在基()与基()与基()下有相同坐标的矩阵。)下有相同坐标的矩阵。解解 (1)取)取 的基的基 ,则有,则有其中其中第29页,共84页,编辑于2022年,星期二于是于是即由基(即由基()到基()到基()的过渡矩阵为)的过渡矩阵为 (2)设)设 在基(在基()到基()到基()下的坐标为)下的坐标为则由坐标变换公式得则由坐标变换公式得 ,即,即可求得该齐次线性方程组的通解为可求得该齐次线性方程组的通解为(任意)任意)于是于是(任意)任意)第30页,共84页,编辑于2022年,星期二 例例2、
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