复变积分变换精选PPT.ppt
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1、复变积分变换复变积分变换第1页,此课件共96页哦引引 言言n n变换:原问题 变换 较易解决的问题 直接求解较难 求解 原问题的解 逆变换 在变换域里的解例如:对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换;在积分中的变量代换和积分运算化简;在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换;复变函数的保角变换;积分变换。第2页,此课件共96页哦引引 言言n n积分变换:通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换。n n n n积分域 ;积分变换的核 ;n n象原函数 ;称为 的象函数。第3页,此课件共96页哦引引 言言n n当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。n n傅里叶(F
2、ourier)变换:变换核为 ;积分域拉普拉斯(Laplace)变换:变换核为 ;积分域 Z变换、梅林(Mellin)变换、汉科尔(Hankel)变换,小波变换。第4页,此课件共96页哦引引 言言n n一般来说,当用积分变换去求解微分方程或其它方程时,在积分变换之下,原来的偏微分方程可以减少自变量的个数,直至变成常微分方程;原来的常微分方程可以变成代数方程,从而使得在函数类B中的运算简化,找出在B中的一个解,再经过逆变换,就得到原来要在函数类A中所求的解。(当然,上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的)。第5页,此课件共96页哦第一章 傅立叶(Fourier)变换 n第第1节节 傅
3、立叶积分公式傅立叶积分公式n第第2节节 傅立叶变换傅立叶变换n第第3节节 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n第第4节节 卷积与相关函数卷积与相关函数 第6页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n如果 是以T为周期的周期函数,并且在 上满足狄利克雷(Dirichlet)条件:即函数在 上满足:n n1、连续或至多只有有限个第一类间断点;2、至多只有有限个极值点。n n那么 在 上的连续点t处,可以展开成傅里叶级数。若t是的间断点,则 第7页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n级数的三角形式:n n其中第8页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n傅里叶级数的复指数形式:第
4、9页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n傅里叶积分公式第10页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n傅傅里里叶叶积积分分定定理理若 在任何有限区间上满足狄利克雷条件,并且在无限区间 上绝对可积(即积分 收敛),则有n n 第11页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n傅里叶积分公式的三角形式:第12页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n傅里叶正弦积分公式n n傅里叶余弦积分公式 第13页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n例1-1求函数 的傅里叶积分表达式。n n解第14页,此课件共96页哦1-1 傅立叶积分公式n n狄利克雷积分:n n例1-2证
5、明 第15页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶积分公式:n n傅里叶变换:n n傅立叶逆变换:第16页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n 在不考虑 在间断点的取值时,和 通过指定的积分运算可以相同表达,即 和和 在傅里叶变换下是一一对应的在傅里叶变换下是一一对应的。为此,称 和 构成了一个傅里叶变换傅里叶变换对对,记为 。它们有相同的奇偶性。第17页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶正弦积分公式:n n傅里叶正弦变换式(正弦变换):n n傅里叶正弦逆变换式:第18页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶余弦积
6、分公式:n n傅里叶余弦变换式(余弦变换):n n傅里叶余弦逆变换式:第19页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例1求单边指数衰减函数n n(其中 为常数)的傅里叶变换和傅里叶积分公式。n n解n n当 时,上式左端应为 第20页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换第21页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例2设 ,试证:和是一对傅里叶变换对。证明注 为傅里叶核傅里叶核,虽然它在不绝对可积,但其傅里叶变换是存在的。第22页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例3求矩形脉冲函数的傅里叶变换 ,且利用傅里叶积分公式证明:第23页,此课件
7、共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例5求函数 的正弦变换和余弦变换。n n解第24页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例6求积分方程n n解 第25页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义频谱频谱 n1 非正弦的周期函数的频谱n2 非周期函数的频谱 第26页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n1非正弦的周期函数的频谱第27页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n第n次谐波:n n第n次谐波的频率频率:n n第n次谐波的振幅振幅:n n基波基波:n n基频:相位:第28页,此课件共96页哦
8、1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n复指数形式:第29页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n这些直线段称为谱线谱线,而全体 称为周期函数 的振动频谱振动频谱(简称为频谱频谱)。频率 与振幅 的关系图称为频谱图。频谱图。周期函数周期函数 有离散频谱。有离散频谱。第30页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例7周期矩形脉冲波 在一个周期n n内的表达式为n n设 和 ,分别作出相应的频谱图。第31页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n2 非周期函数的频谱n n 傅立叶变换 又称为 的频谱密度频谱密度函数函数,它的模 称为 的振幅频谱振幅频谱,也简称为频
9、谱频谱。由于 是连续变化的,这时频谱图是连续曲线,所以称这种频谱为连续连续频谱频谱。也就是说,非周期函数非周期函数 有连续的有连续的频谱图频谱图 。对一个时间函数作傅立叶变换,。对一个时间函数作傅立叶变换,就是求这个时间函数的频谱函数就是求这个时间函数的频谱函数。注意,第32页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n定义 的幅角主值n n为函数 的相角频谱。相角频谱。第33页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例8求单边指数衰减函数的n n振幅频谱和相角频谱。n n解第34页,此课件共96页哦1-2 傅立叶变换傅立叶变换n n例9求单位脉冲函数的振幅频谱和相角频谱。
10、解 第35页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n1、物理意义、物理意义n2、定义、定义n3、性质、性质n4、导数及其性质、导数及其性质n5、广义傅立叶变换、广义傅立叶变换第36页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数 n1、单位脉冲函数的物理意义:、单位脉冲函数的物理意义:n(1)集中质量的密度;)集中质量的密度;n(2)电学中的集中电荷。电学中的集中电荷。第37页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n2、单位脉冲函数的定义、单位脉冲函数的定义:n n(1)类似普通函数形式的定义)类似普通函数形式的定义n n 函数函数是满足如下两个条件
11、的函数。n n(1)(2)(2)普通函数序列极限形式的定义)普通函数序列极限形式的定义 (3)第三种定义)第三种定义 第38页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n多维多维 函数的定义:函数的定义:n n(1)n n(2)n n性质:性质:第39页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n3 3、单位脉冲函数的性质、单位脉冲函数的性质、单位脉冲函数的性质、单位脉冲函数的性质:n n(1 1)线性性质线性性质线性性质线性性质:n n(2 2)分段性质)分段性质)分段性质)分段性质:第40页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n3、单位
12、脉冲函数的性质、单位脉冲函数的性质:n n(3)筛选性质:)筛选性质:n n(4)时间尺度变换性质)时间尺度变换性质:n n 推论:推论:第41页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n3、单位脉冲函数的性质、单位脉冲函数的性质:n n(5)乘以时间函数的性质)乘以时间函数的性质n n 推论:推论:n n(6)单位阶跃函数,或称为海维塞(Heaviside)函数。第42页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n4、单位脉冲函数的导数及其性质、单位脉冲函数的导数及其性质:n nK阶导数:n n(1)n n(2)n n(3)第43页,此课件共96页哦第第3节
13、节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n4、单位脉冲函数的导数及其性质、单位脉冲函数的导数及其性质:n n(4)n n(5)第44页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n3、广义傅立叶变换、广义傅立叶变换:n n(1)极限意义下的傅立叶变换)极限意义下的傅立叶变换 n n若n n则n n例1考察符号函数 的傅立叶变换。n n解 第45页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n(2)函数的傅立叶变换)函数的傅立叶变换 第46页,此课件共96页哦第第3节节 单位脉冲函数单位脉冲函数n n例2证明单位阶跃函数n n的傅立叶变换为n n例3求正弦函数 的傅立叶变换。
14、n n解 第47页,此课件共96页哦第4节 傅立叶变换的性质n n1、线性性质、线性性质n n2、对称性质、对称性质n n3、相似性质、相似性质n n4、位移性质、位移性质n n5、微分性质、微分性质n n6、积分性质、积分性质n n7、卷积与卷积定理、卷积与卷积定理第48页,此课件共96页哦第4节 傅立叶变换的性质n n1、线性性质:、线性性质:第49页,此课件共96页哦第4节 傅立叶变换的性质n n2、对称性质:、对称性质:第50页,此课件共96页哦第4节 傅立叶变换的性质n n3、相似性质、相似性质:n n翻转公式翻转公式:n n 第51页,此课件共96页哦第4节 傅立叶变换的性质n n
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