柯西中值定理.ppt
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1、柯西中值定理现在学习的是第1页,共30页定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理)设函数设函数 ,在区在区间间 上满足上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续;(iii)(iv)则在开区间则在开区间 内必定内必定(至少至少)存在一点存在一点 ,使得使得一、柯西中值定理(ii)f(x),g(x)在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;现在学习的是第2页,共30页几何意义首先将首先将 f,g 这两个函数视为以这两个函数视为以 x 为参数的方程为参数的方程它在它在 O-uv 平面上表示一段曲线平面上表示一段曲线.由由拉格朗日定理拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦恰好等于曲线
2、端点弦 AB 的斜率的斜率(见下图见下图):的几何意义的几何意义,存在一点存在一点(对应于参数对应于参数)的导数的导数 现在学习的是第3页,共30页现在学习的是第4页,共30页证证 作辅助函数作辅助函数显然显然,满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,所以存在点所以存在点使得使得,即即从而从而现在学习的是第5页,共30页例例1 设函数设函数 f 在区间在区间 a,b(a 0)上连续上连续,在在(a,b)证证 设设 ,显然显然 f(x),g(x)在在 a,b 上上满足满足柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件,于是存在于是存在,使得使得变形后即得所需的等式变形后即得所需的等式.上可导上可导,则存在则
3、存在,使得使得现在学习的是第6页,共30页在极限的四则运算中在极限的四则运算中,往往遇到分子往往遇到分子,分母均为无分母均为无二、不定式极限究这类极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂,各种结果均会发生比较复杂,各种结果均会发生.我们将这类极限统我们将这类极限统穷小量穷小量(无穷大量无穷大量)的表达式的表达式.这种表达式的极限这种表达式的极限现在学习的是第7页,共30页定理定理6.6则则证证现在学习的是第8页,共30页注注根据归结原理根据归结原理现在学习的是第9页,共30页
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- 中值 定理
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