决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品专题09 二次函数的综合性问题(解析版)(免费下载).doc
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1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题09 二次函数综合性问题【典例分析】【考点1】二次函数与经济利润问题【例1】(2019·山东中考真题)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润
2、为元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)【答案】(1)这种水果今年每千克的平均批发价是24元;(2)每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元.【解析】【分析】(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元,可得今年的批发销售总额为万元,设这种水果今年每千克的平均批发价是元,则去年的批发价为元,可列出方程:,求得即可.(2)根据总利润(售价成本)×数量列出方程,根据二次函数的单调性即可求最大值【详解】(1)由题意,设这种水果今年每千克的平均批发价是元,则去年的批发价为元,今年的批发销售总
3、额为万元,整理得,解得或(不合题意,舍去).故这种水果今年每千克的平均批发价是24元(2)设每千克的平均售价为元,依题意由(1)知平均批发价为24元,则有,整理得,抛物线开口向下,当元时,取最大值,即每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,根据每天的利润=一件的利润×销售件数,建立函数关系式,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题【变式1-1】(2019·浙江中考真题)某农作物的生长率P 与温
4、度 t()有如下关系:如图 1,当10t25 时可近似用函数刻画;当25t37 时可近似用函数 刻画 (1)求h的值 (2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系:生长率P 0.20.250.30.35提前上市的天数m (天)051015请运用已学的知识,求m 关于P 的函数表达式;请用含的代数式表示m ; (3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度在(2)的条件下,原计划大棚恒温20时,每天的成本为 200元,该作物 30
5、60;天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加 600元因此给大棚继续加温,加温后每天成本w (元)与大棚温度t()之间的关系如图 2问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用)【答案】(1);(2),;(3)当时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.【解析】【分析】(1)根据求出t=25时P的值,代入即可;(2)由表格可知m与p的一次函数,用待定系数法求解即可;分当时与当时两种情况求解即可;(3)分当时与当时两种情况求出增加的利润,然后比较即可.【详解】(1)把t=25代入,得P=0
6、.3,把(25,0.3)的坐标代入得或,.(2)由表格可知m与p的一次函数,设m=kp+b,由题意得 ,解之得 ,;当时,当时,.;(3)()当时,由,得.增加利润为.当时,增加利润的最大值为6000元.()当时,.增加利润为,当时,增加利润的最大值为15000元.综上所述,当时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用,用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的图像与性质,利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解(1)的关键,分类讨论是解(2)与(3)的关键.【变式1-2
7、】(2019·辽宁中考真题)网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开设了一家网店,销售当地农产品其中一种当地特产在网上试销售,其成本为每千克10元公司在试销售期间,调查发现,每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中)(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围(2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元,则销售单价x应定为多少元?(3)设每天销售该特产的利润为W元,若,求:销售单价x为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?【答案】(1);(2)销售单价x应定为15元;(3)当时,每天的销售利润最大,最大利润是6480元【解析
8、】【分析】(1)当时,可直接根据图象写出;当时,y与x成一次函数关系,用待定系数法求解即可;(2)根据销售利润=每千克的利润(x10)×销售量y,列出方程,解方程即得结果;(3)根据销售利润w=每千克的利润(x10)×销售量y,可得w与x的二次函数,再根据二次函数求最值的方法即可求出结果.【详解】解:(1)由图象知,当时,;当时,设,将,代入得,解得,y与x之间的函数关系式为;综上所述,;(2),解得:(不合题意舍去),答:销售单价x应定为15元;(3)当时,当时,每天的销售利润最大,最大利润是6480元【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用,正确理解
9、题意求出函数关系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.【考点2】二次函数与几何图形问题【例2】(2018·福建中考真题)空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米如图1,求所利用旧墙AD的长;(2)已知050,且空地足够大,如图2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值【答案】(1)利用旧墙AD的长为10米(2)见解析.【解析】【分析】(1)按
10、题意设出AD,表示AB构成方程;(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系【详解】(1)设AD=x米,则AB=米依题意得,450解得x1=10,x2=90a=20,且xax=90舍去利用旧墙AD的长为10米(2)设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得:S=,0xa0a50xa50时,S随x的增大而增大当x=a时,S最大=50a-a2如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,ax50+当a25+50时,即0a时,则x=25+时,S最大=(25+)2=,当25+a,即a50时,S随x的增大而减小x=a时,S最大=,
11、综合,当0a时,-()=0,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米当a50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等当0a时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米;当a50时,围成长为a米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米【点睛】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系【变式2-1】(2019·湖南中考真题)如图,已知抛物线经过两点A(3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x1(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求
12、PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标【答案】(1)yx22x+3;(2)PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标(,)【解析】【分析】(1)因为对称轴是直线x=-1,所以得到点A(-3,0)的对称点是(1,0),因此利用交点式y=a(x-x1)(x-x2),求出解析式(2)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得最大值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案【详解】(1)抛物线对称轴是直线x1且经过点A(3,0)由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为ya(xx1)(xx2)(a0)即:ya(x1)(x+3)把B(0,3)代入得:33aa1抛物线的解析
13、式为:yx22x+3(2)设直线AB的解析式为ykx+b,A(3,0),B(0,3),直线AB为yx+3,作PQx轴于Q,交直线AB于M,设P(x,x22x+3),则M(x,x+3),PMx22x+3(x+3)x23x,当时,PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标为(,).【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,利用面积的和得出二次函数是解题关键,又利用了二次函数的性质【变式2-2】(2018·吉林中考真题)如图,在RtABC中,C=90°,A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动过点P作PDAC于点D(点P不与
14、点A、B重合),作DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q设点P的运动时间为t秒(1)用含t的代数式表示线段DC的长;(2)当点Q与点C重合时,求t的值;(3)设PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(4)当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时,直接写出t的值【答案】(1)CD= 2t(0t2);(2)1;(3)见解析;(4)t的值为秒或秒或秒【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论;(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论;(4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结
15、论【详解】(1)在RtABC中,A=30°,AB=4,AC=2,PDAC,ADP=CDP=90°,在RtADP中,AP=2t,DP=t,AD=APcosA=2t×=t,CD=ACAD=2t(0t2);(2)在RtPDQ中,DPC=60°,PQD=30°=A,PA=PQ,PDAC,AD=DQ,点Q和点C重合,AD+DQ=AC,2×t=2,t=1;(3)当0t1时,S=SPDQ=DQ×DP=×t×t=t2,当1t2时,如图2,CQ=AQAC=2ADAC=2t2=2(t1),在RtCEQ中,CQE=30
16、6;,CE=CQtanCQE=2(t1)×=2(t1),S=SPDQSECQ=×t×t×2(t1)×2(t1)=t2+4t2,S=;(4)当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,如图3,PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2,A=AQP=30°,FPG=60°,PFG=30°,PF=2PG=2t,AP+PF=2t+2t=2,t=;当PQ的垂直平分线过AC的中点M时,如图4,QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,在RtNMQ中,NQ=,AN+NQ=AQ,+=2t,t=,当P
17、Q的垂直平分线过BC的中点时,如图5,BF=BC=1,PE=PQ=t,H=30°,ABC=60°,BFH=30°=H,BH=BF=1,在RtPEH中,PH=2PE=2t,AH=AP+PH=AB+BH,2t+2t=5,t=,即:当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时,t的值为秒或秒或秒【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,根据题意准确作出图形、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.【考点3】二次函数与抛物线形问题【例3】(2019·山东省青岛第二十六中学中考模拟)如图,斜坡AB长10米,按图中的直角
18、坐标系可用y=x+5表示,点A,B分别在x轴和y轴上在坡上的A处有喷灌设备,喷出的水柱呈抛物线形落到B处,抛物线可用y=x2+bx+c表示(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围);(2)求水柱离坡面AB的最大高度;(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树,水柱能否越过这棵树?【答案】(1)y=-x2+x+5;(2)当x=时,水柱离坡面的距离最大,最大距离为;(3)水柱能越过树,理由见解析【解析】【分析】(1)根据题意先求出A,B的坐标,再把其代入解析式即可(2)由(1)即可解答(3)过点C作CDOA于点D,求出OD=4,把OD代入解析式即可【详解】(1)AB=10、OAB
19、=30°,OB=AB=5、OA =10×=5,则A(5,0)、B(0,5),将A、B坐标代入y=-x2+bx+c,得:,解得:,抛物线解析式为y=-x2+x+5;(2)水柱离坡面的距离d=-x2+x+5-(-x+5)=-x2+x=-(x2-5x)=-(x-)2+,当x=时,水柱离坡面的距离最大,最大距离为;(3)如图,过点C作CDOA于点D,AC=2、OAB=30°,CD=1、AD=,则OD=4,当x=4时,y=-×(4)2+×4+5=51+3.5,所以水柱能越过树【点睛】此题考查二次函数的应用,解题关键在于求出A,B的坐标【变式3-1】(20
20、19·河北中考模拟)如图,一座拱桥的轮廓是抛物线型,拱高6,在长度为8的两支柱和之间,还安装着三根支柱,相邻两支柱间的距离为5.(1)建立如图所示的直角坐标系,求拱桥抛物线的函数表达式;(2)求支柱的长度.(3)拱桥下面拟铺设行车道,要保证高3的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3),行车道最宽可以铺设多少米?【答案】(1);(2)EF=3.5m;(3)行车道最宽可以铺设13.4米.【解析】【分析】(1)根据题目可知抛物线经过的两点的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解;(2)设N点的坐标为(15,y)可求出支柱EF的长度;(3)令y=3.3,求得x的值即可求解【详解】(1)根据
21、题意,设拱桥抛物线的函数表达式为:, 相邻两支柱间的距离均为5m,OA=4×5m=20m,(20,0),(10,6)两点都在抛物线上,解得 (2)设点F的坐标为(15,y),EF=8mm=m=3.5m (3)当y=3+0.3=3.3(m)时,有, 化简,得,解得, 答:行车道最宽可以铺设13.4米【点睛】本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题是解题根本,求出二次函数关系式是关键【变式3-2】(2019·辽宁中考模拟)如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直
22、角坐标系的方案(如图),你选择的方案是 (填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是 ,求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度【答案】(1) 方案1; B(5,0); ;(2) 3.2m.【解析】试题分析:(1)根据抛物线在坐标系的位置,可用待定系数法求抛物线的解析式(2)把x=3代入抛物线的解析式,即可得到结论试题解析:解:方案1:(1)点B的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:,抛物线的解析式为:;(2)由题意:把代入,解得:=3.2,水面上涨的高度为3.2m方案2:(1)点B的
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