全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编(第2期)专题26 图形的相似与位似.doc
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1、1图形的相似与位似图形的相似与位似一.选择题1(2015海南,第 13 题 3 分)如图,点 P 是 ABCD 边 AB 上的一点,射线 CP 交 DA 的延长线于点 E,则图中相似的三角形有()A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对考点:相似三角形的判定;平行四边形的性质分析:利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可解答:解:四边形 ABCD 是平行四边形,ABDC,ADBC,EAPEDC,EAPCPB,EDCCBP,故有 3 对相似三角形故选:D点评:此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键2(2015湘潭,第 4 题
2、3 分)在ABC 中,D、E 为边 AB、AC 的中点,已知ADE 的面积为4,那么ABC 的面积是()A8B12C16D20考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:由条件可以知道 DE 是ABC 的中位线,根据中位线的性质就可以求出,再根据相似三角形的性质就可以得出结论解答:解:D、E 分别是 AB、AC 的中点,DE 是ABC 的中位线,DEBC,ADEABC,2ADE 的面积为 4,SABC=16故选:C点评:本题考查中位线的判定及性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答时证明ADEABC 是解答本题的关键3(2015永州,第 8 题 3 分)如图,下列条件不能判定A
3、DBABC 的是()AABD=ACBBADB=ABCCAB2=ADACD=考点:相似三角形的判定.分析:根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,分别判断得出即可解答:解:A、ABD=ACB,A=A,ABCADB,故此选项不合题意;B、ADB=ABC,A=A,ABCADB,故此选项不合题意;C、AB2=ADAC,=,A=A,ABCADB,故此选项不合题意;D、=不能判定ADBABC,故此选项符合题意故选:D点评:本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似4.(20152015 江苏淮安第江苏
4、淮安第 8 8 题)题)如图,l1l2l3,直线 a、b 与l1、l2、l3分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F,若32BCAB,DE=4,则 EF 的长是()38B、320C、6D、1035.(2015 年四川省广元市中考,10,3 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 P 从 A 点出发,按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动记 PA=x,点 D 到直线 PA 的距离为 y,则 y 关于 x 的函数大致图象是()ABCD考点:动点问题的函数图象.分析:根据题意,分两种情况:(1)当点 P 在 AB 上移动时,点 D 到直线 PA 的距离不变,恒为 4;(2)当点
5、 P 在 BC 上移动时,根据相似三角形判定的方法,判断出PABADE,即可判断出 y=(3x7),据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可解答:解:(1)当点 P 在 AB 上移动时,点 D 到直线 PA 的距离为:y=DA=BC=4(0 x3)(2)如图 1,当点 P 在 BC 上移动时,PAB+DAE=90,ADE+DAE=90,PAB=DAE,在PAB 和ADE 中,4PABADE,y=(3x7)综上,可得y 关于 x 的函数大致图象是:故选:D点评:(1)此题主要考查了动点问题的函数图象,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还
6、可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图(2)此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握6.6.(20152015 年浙江舟山年浙江舟山 7,7,3 3 分)分)如图,在ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则O的半径为【】A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6【答案】【答案】B.【考点】【考点】切线的性质;勾股定理逆定理;相似三角形的判定和性质.【分析】【分析】如答图,设O与AB相切于点D,连接CD,AB=5,BC=3,AC=4,222ABBCAC.ABC 是直角坐标三角形,且090ACB.O与AB相切于点D,CD
7、AB,即090ACD.易证ABCACD.ACCDABBC.42.453CDCD.O的半径为 2.4.故选 B7(2015滨州,第 12 题 3 分)如图,在 x 轴的上方,直角BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转,若BOA 的两边分别与函数 y=、y=的图象交于 B、A 两点,则OAB 的大小的变化5趋势为()A 逐渐变小 B 逐渐变大 C 时大时小 D 保持不变考点:相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征分析:如图,作辅助线;首先证明BOMOAN,得到;设 B(m,),A(n,),得到 BM=,AN=,OM=m,ON=n,进而得到 mn=,mn=,此为解决问题的关键性结论;运用
8、三角函数的定义证明知 tanOAB=为定值,即可解决问题解答:解:如图,分别过点 A、B 作 ANx 轴、BMx 轴;AOB=90,BOM+AON=AON+OAN=90,BOM=OAN,BMO=ANO=90,BOMOAN,;设 B(m,),A(n,),则 BM=,AN=,OM=m,ON=n,mn=,mn=;AOB=90,tanOAB=;BOMOAN,=,由知 tanOAB=为定值,OAB 的大小不变,故选 D6点评:该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、
9、推理或解答8(2015东营,第 10 题 3 分)如图,在 RtABC 中,ABC=90AB=AC点 D 是线段 AB上的一点,连结 CD过点 B 作 BGCD,分别交 CD、CA 于点 E、F,与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G,连结 DF,给出以下四个结论:=;若点 D 是 AB 的中点,则 AF=AB;当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时,DF=DB;若=,则 SABC=9SBDF,其中正确的结论序号是()A B C D 考点:相似形综合题分析:由AFGBFC,可确定结论正确;由AFGAFD 可得 AG=AB=BC,进而由AFGBFC 确定点 F 为 AC 的三等分点,可确
10、定结论正确;当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时,由圆内接四边形的性质得到2=ACB 由于ABC=90,AB=AC,得到ACB=CAB=45,于是得到CFD=AFD=90,根据垂径定理得到 DF=DB,故正确;因为 F 为 AC的三等分点,所以 SABF=SABC,又 SBDF=SABF,所以 SABC=6SBDF,由此确定结论错误解答:解:依题意可得 BCAG,AFGBFC,又 AB=BC,故结论正确;如右图,1+3=90,1+4=90,73=4在ABG 与BCD 中,ABGBCD(ASA),AG=BD,又 BD=AD,AG=AD;在AFG 与AFD 中,AFGAFD(SAS)ABC 为等
11、腰直角三角形,AC=AB;AFGAFD,AG=AD=AB=BC;AFGBFC,=,FC=2AF,AF=AC=AB故结论正确;当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时,2=ACBABC=90,AB=AC,ACB=CAB=45,2=45,CFD=AFD=90,CD 是 B、C、F、D 四点所在圆的直径,BGCD,DF=DB,故正确;AF=AC,SABF=SABC;=,SBDF=SABF,SBDF=SABC,即 SABC=9SBDF故结论正确故选 D8点评:本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用,有一定的难度对每一个结论,需要仔细分析,严格论证;注意各结论之间并非彼此孤立,而是往往存在
12、逻辑关联关系,需要善加利用9.(2015四川成都,第 5 题 3 分)如图,在ABC 中,DEBC,AD=6,DB=3,AE=4,则 EC的长为()A1B 2C 3D 4考点:平行线分线段成比例.分析:根据平行线分线段成比例可得,代入计算即可解答解答:解:DEBC,即,解得:EC=2,故选:B点评:本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键10(2015营口,第 8 题 3 分)如图,ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形,已知点 A(3,4),点 C(2,2),点 D(3,1),则点 D 的对应点 B 的坐标是()A(4,2)B(4,1)C(5
13、,2)D(5,1)考点:位似变换;坐标与图形性质9分析:设点 B 的坐标为(x,y),然后根据位似变换的性质列式计算即可得解解答:解:设点 B 的坐标为(x,y),ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形,=,=,解得 x=5,y=2,所以,点 B 的坐标为(5,2)故选 C点评:本题考查了位似变换,坐标与图形性质,灵活运用位似变换的性质并列出方程是解题的关键11.(20152015 年浙江年浙江衢州衢州 9 9,3 3 分分)如图,已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm长的绑绳EF,5tan2,则“人字梯”的顶端
14、离地面的高度AD是【】A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm【答案】【答案】B【考点】【考点】平行线分线段成比例【分析【分析】“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm长的绑绳EF,512AFAC./EFBC,AEFABC.EFAFBCAC.60512BC,解得144BC.5tan2,即55180127222ADADADcmBC.故选 B12(3 分)(2015毕节市)(第 13 题)在ABC 中,DEBC,AE:EC=2:3,DE=4,则 BC等于()10A 10 B 8 C 9 D 6考点:相似三角形的判定与性
15、质分析:根据相似三角形的对应边成比例,即可求得 BC 的长解答:解:DEBC,ADEABC,BC=10故选 A点评:此题考查了相似三角形的性质此题比较简单,解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用,注意数形结合思想的应用13(4 分)(2015铜仁市)(第 9 题)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE:EC=3:1,连接 AE 交 BD 于点 F,则DEF 的面积与BAF 的面积之比为()A 3:4B9:16C9:1D 3:1考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析:可证明DFEBFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案解答:解
16、:四边形 ABCD 为平行四边形,DCAB,DFEBFA,DE:EC=3:1,DE:DC=1=3:4,DE:AB=3:4,SDFE:SBFA=9:16故选:B11点评:本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质,注:相似三角形的面积之比等于相似比的平方14(2015甘肃庆阳,第 10 题,3 分)如图,在ABC 中,两条中线 BE,CD 相交于点 O,则 SDOE:SDCE=()A1:4 B 1:3C 1:2D 2:3考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:先根据题意判断出 DE 是ABC 的中位线,故可得出ODEOCB,由此可得出=,进而可得出结论解答:解:在ABC
17、中,两条中线 BE,CD 相交于点 O,DE 是ABC 的中位线,ODEOCB,=,=,DOE 与DCE 等高,SDOE:SDCE=OD:CD=1:3故选 B点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,先根据题意得出 DE 是ABC 的中位线是解答此题的关键15(2015江苏镇江,第 17 题,3 分)如图,坐标原点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,顶点 A的坐标为(1,t),ABx 轴,矩形 ABCD与矩形 ABCD 是位似图形,点 O 为位似中心,点A,B分别是点A,B的对应点,=k 已知关于x,y的二元一次方程(m,n 是实数)无解,在以 m,n 为坐标(记为(m,n)的所有的点中,若有
18、且只有一个点落在矩形 ABCD的边上,则 kt 的值等于()12AB 1CD考点:位似变换;二元一次方程组的解;坐标与图形性质.分析:首先求出点 A的坐标为(k,kt),再根据关于 x,y 的二元一次方程(m,n 是实数)无解,可得 mn=3,且 n;然后根据以 m,n 为坐标(记为(m,n)的所有的点中,有且只有一个点落在矩形 ABCD的边上,可得反比例函数 n=的图象只经过点 A或 C;最后分两种情况讨论:(1)若反比例函数 n=的图象经过点 A时;(2)若反比例函数 n=的图象经过点 C时;求出 kt 的值等于多少即可解答:解:矩形 ABCD与矩形 ABCD 是位似图形,=k,顶点 A
19、的坐标为(1,t),点 A的坐标为(k,kt),关于 x,y 的二元一次方程(m,n 是实数)无解,mn=3,且 n,即 n=(m2),以 m,n 为坐标(记为(m,n)的所有的点中,有且只有一个点落在矩形 ABCD的边上,反比例函数 n=的图象只经过点 A或 C,由,可得mnx3x+4=3n+1,(1)若反比例函数 n=的图象经过点 A,mn=3,3x3x+4=2kt+1,解答 kt=,13(2)若反比例函数 n=的图象经过点 C,mn=3,3x3x+4=2kt+1,解答 kt=,k0,t0,kt=不符合题意,kt=故选:D点评:(1)此题主要考查了位似变换问题,要熟练掌握,解答此题的关键是
20、要明确:两个图形必须是相似形;对应点的连线都经过同一点;对应边平行(2)此题还考查了二元一次方程组的求解方法,以及坐标与图形的性质,要熟练掌握16.(2015 湖北省咸宁市,第 6 题 3 分)如图,以点 O 为位似中心,将ABC 放大得到DEF 若AD=OA,则ABC 与DEF 的面积之比为()A 1:2B1:4C1:5D 1:6考点:位似变换.分析:利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比解答:解:以点 O 为位似中心,将ABC 放大得到DEF,AD=OA,OA:OD=1:2,ABC 与DEF 的面积之比为:1:4故选:B点评:此题主要考查了位似图形的性质,得出位似比是解题关键17
21、.(2015湖北省随州市,第 7 题 3 分)如图,在ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,下列条件中不能判断ABCAED 的是()14A AED=BBADE=CC=D=考点:相似三角形的判定.分析:由于两三角形有公共角,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对 A、B 选项进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 C、D 选项进行判断解答:解:DAE=CAB,当AED=B 或ADE=C 时,ABCAED;当=时,ABCAED故选 D点评:本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似考点:
22、分析:解答:解:故选:A点评:18.(2015恩施州第 9 题 3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,EFAB 交 AD 于 E,交 BD 于F,DE:EA=3:4,EF=3,则 CD 的长为()A 4B7C3D 12考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析:由 EFAB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得,则可求得 AB 的长,又由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得 CD 的长解答:解:DE:EA=3:4,DE:DA=3:7EFAB,EF=3,解得:AB=7,四边形 ABCD 是平行四边形,15CD=AB=7故选 B点评:此题考查了平行线分线段
23、成比例定理与平行四边形的性质此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用19(2015济南,第 13 题 3 分)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点若AM=2,则线段ON的长为()ABC1D考点:相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;正方形的性质专题:图形的相似题分析:作MHAC于H,如图,根据正方形的性质得MAH=45,则AMH为等腰直角三角形,所以AH=MH=AM=,再根据角平分线性质得BM=MH=,则AB=2+,于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2OC=AC=+1,所以CH=ACAH=2+,然后证明CONCHM,再利
24、用相似比可计算出ON的长解:作MHAC于H,如图,四边形ABCD为正方形,MAH=45,AMH为等腰直角三角形,AH=MH=AM=2=,CM平分ACB,BM=MH=,AB=2+,AC=AB=(2+)=2+2,OC=AC=+1,CH=ACAH=2+2=2+,BDAC,16ONMH,CONCHM,=,即=,ON=1故选 C点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和正方形的性质20.(2015江苏南通,第 10 题 3 分)如图,
25、AB 为O 的直径,C 为O 上一点,弦 AD 平分BAC,交 BC 于点 E,AB=6,AD=5,则 AE 的长为()A2.5B2.8C3D3.2考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理.分析:连接 BD、CD,由勾股定理先求出 BD 的长,再利用ABDBED,得出=,可解得 DE的长,由 AE=ABDE 求解即可得出答案解答:解:如图 1,连接 BD、CD,AB 为O 的直径,ADB=90,BD=,弦 AD 平分BAC,CD=BD=,CBD=DAB,17在ABD 和BED 中,ABDBED,=,即=,解得 DE=,AE=ABDE=5=2.8点评:此题主要考查了三角形相似的判定和性
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