常微分方程 线性方程组的基本理论PPT讲稿.ppt
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1、常微分方程常微分方程 线性方线性方程组的基本理论程组的基本理论1第1页,共29页,编辑于2022年,星期六一、线性齐次方程组解的结构一、线性齐次方程组解的结构 证明证明:Th4.5Th4.5 设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组的解的解,则它们的则它们的线性组合线性组合也是齐解。也是齐解。是齐次线性方程组的解是齐次线性方程组的解.2第2页,共29页,编辑于2022年,星期六线性相关及线性无关线性相关及线性无关则称此组函数向量在则称此组函数向量在 上线性相关上线性相关,否则称为线性无关否则称为线性无关.有有成立,成立,设设 为为 上的上的函数函数向量向量,若有一组不全为零的数若有一组不全为零的
2、数?3第3页,共29页,编辑于2022年,星期六例例4.3.1 证明证明在任何区间在任何区间I上都是线性相关的上都是线性相关的.证明证明:取取则则故故在在I上是线性相关的上是线性相关的.4第4页,共29页,编辑于2022年,星期六例例4.3.2 证明证明 在在 上上线性无关线性无关.只需只需证明证明:要使要使成立成立,线性无关线性无关.5第5页,共29页,编辑于2022年,星期六朗斯基判别准则朗斯基判别准则:设有设有n n个个函数向量函数向量为这些函数向量组的为这些函数向量组的朗斯基行列式朗斯基行列式.称称 6第6页,共29页,编辑于2022年,星期六Th4.6Th4.6 齐齐次线性方程组的次
3、线性方程组的解组解组 在在线性相关线性相关的的充要条件充要条件是它们的朗斯基行列式是它们的朗斯基行列式 由由 的任意性的任意性有有均线性相关均线性相关.则则所以所以证明证明:充分性充分性.在在 上线性相关上线性相关,设设7第7页,共29页,编辑于2022年,星期六则则 线性相关,线性相关,必要性必要性.若若 ,取取 ,有有考虑考虑 Th4.6Th4.6 齐次线性方程组的解组齐次线性方程组的解组 在在线性相关线性相关的数的数 ,使得使得即存在即存在不全为零不全为零由由解的叠加原理解的叠加原理 知知 是齐线性方程组的解是齐线性方程组的解,且且由由解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理知知 ,所以齐解
4、组所以齐解组 线性相关线性相关.8第8页,共29页,编辑于2022年,星期六Th4.7Th4.7 设设 是是齐次线性齐次线性方程组方程组的任意的任意n n个解个解,则它们的朗斯基行列式则它们的朗斯基行列式 其中其中为齐次线性方程组对应的系数矩阵为齐次线性方程组对应的系数矩阵A(t)的对角线元素的对角线元素.-刘维尔公式刘维尔公式证明证明 :由由行列式的求导法则行列式的求导法则 及及 是解得证是解得证.9第9页,共29页,编辑于2022年,星期六推论推论4.14.1 齐次线性方程组的任一解组齐次线性方程组的任一解组 的的 在在 上或上或恒不为零恒不为零,或恒为零或恒为零.在在 上上线性无关线性无
5、关推论推论4.24.2 齐次线性方程组的解组齐次线性方程组的解组 有有 .在在 上某点上某点 处,处,10第10页,共29页,编辑于2022年,星期六Th4.8Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在线性齐次微分方程组一定存在 个线性无关解个线性无关解.证明证明:由解的存在惟一性定理由解的存在惟一性定理,一定存在满足初始条件一定存在满足初始条件在在上上线性无关线性无关.因此因此的解的解11第11页,共29页,编辑于2022年,星期六的的n n个个线性无关解线性无关解,则则Th4.9Th4.9(通解结构定理通解结构定理)设)设 是方程组是方程组 (1 1)是方程组是方程组 的的通解通解,其其中中
6、是任意常数是任意常数.(2 2)方程组)方程组 的任一解的任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.12第12页,共29页,编辑于2022年,星期六证明:(证明:(1 1)由解的)由解的叠加原理叠加原理知知(1 1)是方程组是方程组 的的通解通解.是方程组是方程组 的解的解,故故 彼此独立彼此独立,所以所以 是通解是通解.13第13页,共29页,编辑于2022年,星期六可知可知 线性无关线性无关,因为因为 是是n n个线性无关解个线性无关解,即它们构成即它们构成 n n维线性空间的基维线性空间的基,故对向量故对向量 一定一定 存在唯一确定的一组常数存在唯一确定的一组常数 满足满足 (
7、2 2)方程组)方程组 的的任一解任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.考虑考虑叠加原理叠加原理!解的唯一性解的唯一性!证明证明 设设 是是 任一解任一解,并满足并满足 14第14页,共29页,编辑于2022年,星期六推论推论4.3 方程组方程组 的的线性无关解的最大个数为线性无关解的最大个数为n.(2 2)方程组)方程组 的任一解的任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.的的n n个个线性无关解线性无关解,则则Th4.9Th4.9(通解结构定理通解结构定理)设)设 是方程组是方程组 (1 1)通解通解15第15页,共29页,编辑于2022年,星期六基本解组基本解组:
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