北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题.pdf
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1、第一章总练习题第一章总练习题1.求解下列不等式:5x8()1 2.3|5x8|142解解 2.|5x8|6,5x8 6或5x8 6,x 或x.3552(2)x3 3,52解解3x3 3,0 x 15.5(3)|x1|x2|1解解(x1)2(x2)2,2x1 4x4,x.22.2.设y 2x|2 x|,试将x表示成y的函数.1解解当x 2时,y x2,y 4,x y2;当x 2时,y 3x2,y 4,x(y2).3y2,y 4x 1(y2),y 4.313.求出满足不等式 1 x 1x的全部x.2解解x 1.2 1 x x2,4(1 x)x24x4,x2 0.x 1,x 0.4.用数学归纳法证明
2、下列等式:123nn2(1)23n 2n.22222121证证当n 1时,2-1,等式成立.设等式对于n成立,则22123n1123nn123n123nn1222222222n2n12n4(n1)(n1)3 2nn1 2 2,n1n12222即等式对于n1也成立.故等式对于任意正整数皆成立.(2)12x3x 2nxn11(n1)xnnxn1(x 1).(1 x)21(11)xn1x11(1 x)2证证当n 1 1时,1,等式成立.22(1 x)(1 x)设等式对于n成立,则12x3x 2nxn11(n1)xnnxn1(n1)x(n1)xn2(1 x)n1(n1)xnnxn1(1 x)2(n1)
3、xn(1 x)21(n1)xnnxn1(12x x2)(n1)xn(1 x)21(n1)xnnxn1(xn2xn1 xn2)(n1)(1 x)21(n1)xnnxn1(xn2xn1 xn2)(n1)(1 x)21(n2)xn1(n1)xn2,2(1 x)即等式对于n1成立.由归纳原理,等式对于所有正整数都成立.|2 x|x|25.设f(x)x(1)求f(4),f(1),f(2),f(2)的值;(2)将f(x)表成分段函数;(3)当x 0时f(x)是否有极限:(4)当x 2时是否有极限?解解(1)f(4)24211222422 1,f(1)2,f(2)2,f(2)0.41224/x,x 2;(2
4、)f(x)2,2 x 0;0,x 0.(3)无因为.lim f(x)2,lim f(x)0 lim f(x).x0 x0 x0(4)有.lim f(x)lim(4/x)2,lim f(x)lim 2 2 lim f(x),lim f(x)2.x2x2x2x2x2x26.设f(x)x214,即f(x)是不超过x214的最大整数.3(1)求f(0),f,f(2)的值;2(2)f(x)在x 0处是否连续?(3)f(x)在x 2处是否连续?1 39解解(1)f(0)14 14,f146 7.f(2)12 12.424(2)连续因为.lim f(x)lim y14 14 f(0).x0y0(3)不连续因
5、为.lim f(x)12,lim f(x)11.x 2x 27.设两常数a,b满足0 a b,对一切自然数n,证明:bn1an1bn1an1nn(1)(n1)b;(2)(n1)a.bababn1an1(ba)(bnbn1a证证bababn1an1类似有(n1)an.banan)bnbn1bbn(n1)bn,118.对n 1,2,3,令an1,bn1.nn证明:序列an单调上升,而序列bn单调下降,并且.an bn.证证令a=111nn1n111,b 1,则由7题中的不等式,n1nn11 1n111nn11 1n1n1(n1)1,n11(n1)1nn(n1)n1nn11n11nn1n1n11 1
6、 111nnn1n1,1 11 1nn1n.n1n11 11 1n1 nn1(n1)111n1nn11 11(n1)11n1n(n1)n1 1111n1nnnnn1nn11 1n1n1n11 1n1n11 11 111 1n1nn1 n2.111 我们证明11.nn1n1112111nn1n1(n1)211.最后不等式显然成立.2n(n1)(n1)11当n 时,1 e,1nn9.求极限nn111 e,故1 e 1nnnn1.1 1 1 1 lim12121212n234n1 1 1 1 解解12121212234n1 3 2 4 3 5n n11 n11(n ).2 2 3 3 4 4nnn2
7、2nx10.作函数f(x)lim2(a 0)的图形.nnx a0,x 0;nx解解f(x)lim2nnx a1/x,x 0.11.在?关于有界函数的定义下,证明函数f(x)在区间a,b上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M使得|f(x)|M,xa,b.证证设存在常数M1,N使得M1 f(x)N,xa,b,取M max|M1|,|N|1,则有|f(x)|M,xa,b.反之,若存在一个正的常数M使得|f(x)|M,xa,b,则M f(x)M,xa,b.12.证明:若函数y f(x)及y g(x)在a,b上均为有界函数,则f(x)g(x)及f(x)g(x)也都是a,b上的有界函数.证证存在M1,
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