方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式课件.ppt
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1、关于方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式第1页,此课件共46页哦10.4 方向导数与梯度及泰勒公式方向导数与梯度及泰勒公式 10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度内容小结与作业内容小结与作业10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式黑塞矩阵与泰勒公式第2页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.4.1 方向导数与梯
2、度方向导数与梯度1.1.方向导数的概念方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数 有在几何上,它们分别表示平面曲线 及在点 处的切线的斜率.第3页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数 在点 定义定义 若函数在点 处沿方向 u(方向角为存在下列极限:记作 则称为函数在点 P 处沿方向 u
3、 的方向导数方向导数.第4页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件方向导数的几何意义方向导数的几何意义表示曲线C 在 点处的切线的斜率.特别特别:当 u 与 x 轴同向 当 u 与 x 轴反向第5页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级
4、教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在,设函数 在点 处可微,定理定理10.4.1且有其中 为向量 u 的方向余弦.因函数 在点 处可微,则 证明证明2.方向导数的计算方向导数的计算第6页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件这就证明了方向导数存在,且一般地,当函数 可微时,有且
5、 所以当自变量从点 沿u 方向移动时,第7页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件三元函数 在点 沿方向 u(方向角为 )的方向导数定义为 定理定理10.4.1的逆命题不成立的逆命题不成立.f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微但不可微.第8页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.S
6、ci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件方向导数的性质方向导数的性质第9页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例1.求函数 在点 沿方向的方向导数.解:解:又 的方向余弦为故第10页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.
7、Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例2.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数故第11页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件3.梯
8、度向量的定义梯度向量的定义因为新向量新向量G第12页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件同样可定义二元函数在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数 f(P)在点 P 处的梯度(gradient),向量记作 grad f 或 f,即nabla 第13页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.
9、应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例3.求函数 在点 处的梯度以及函数在该点处沿方向 的方向导数.解:解:故又故第14页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件如果采用向量的记号,我们容易给出一般 n 元函数的方向导数与梯度的定义.设 f(x
10、)是 n 元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u 是 n 元向量,u0 是 u 对应的单位向量,函数的情况),则 f(x)在点 x 处沿 u 的方向导数和梯度分别定义为第15页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向函数的最速上升方向与最速下降方向定义定义10.4.1设 f(
11、x)是 上的连续函数,d 是 n 维非零向量,如果存在,使得对于一切,恒有则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向上升方向;恒有如果对于则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向下降方向.第16页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定理定理10.4.2设 f(x)在点 x0 处可微,u 是一个 n 维非零向量,如果个上升方向;的一个下降方向则u 是f(x)在点 x0
12、 处的一如果则 u 是f(x)在点 x0 处定理说明定理说明:方向导数的符号决定函数的升降方向导数的符号决定函数的升降.第17页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件结论结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向导数达到最大值问题:问题:函数值沿什么方向上升最快函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向
13、下降最快?沿什么方向下降最快?第18页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件若函数 在点 处取最大值,则函数 沿任何方向都不可能上升,于是由定理定理10.4.2知特别地另一方面因此即函数在最大值点 处的梯度为零向量;同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量 第19页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci
14、.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件设 在 处取最大(小)值,则即类似地,若三元函数 在 处取最大(小)值,则第20页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例4.设一座山的高度由函数 给出,如果登山者在
15、山坡的点 处,此时登山者往何方向攀登时坡度最陡?解:解:坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向,即求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .因为梯度与 的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.第21页,此课件共46页哦Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向定理定理10.4.3设 f(x)是 上的连
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- 方向 导数 梯度 矩阵 泰勒 公式 课件
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