函数极限的性质证明(精选多篇最新).pdf
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1、第一篇:函数极限的性质证明函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明 xn 的极限存在,并求该极限求极限我会|xn+1-a|xn-a|/a以此类推,改变数列下标可得|xn-a|xn-1-a|/a;|xn-1-a|xn-2-a|/a;|x2-a|x1-a|/a;向上迭代,可以得到|xn+1-a|x(1);设 x(k+1)x(k),则x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化)=/【+】0。证明x(n)有上界。x(1)=14,设 x(k)4,则x(k+1)=(2+3*4)1、a=1/t且,f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t1)则:1lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx
2、=lim(x+)(分子分母分别求导)=lim(x+)1/(tx*lnt)=1/(+)=0所以,对于数列 n*an,其极限为 04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明:(1)lim=0n(2)lim=3/2n(3)lim=0n(4)lim0.9999=1nn 个 95 几道数列极限的证明题,帮个忙。lim 就省略不打了。n/(n2+1)=0(n2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题,只不过题目把答案告诉你了,你把过程写出来就好了第一题,分子分母都除以 n,把 n 等于无穷带进去就行第二题,利用海涅定理,把 n 换成 x,原题由数列极限变成函数极限,用罗比达法则(不知楼主学了
3、没,没学的话以后会学的)第三题,n 趋于无穷时 1/n=0,sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=12limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第二篇:函数极限的性质3.2 函数极限的性质2 函数极限的性质.目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限
4、四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.教学重点与难点:重点:函数极限的性质.难点:函数极限的性质的证明及其应用.讲授内容在1 中我们引入了下述六种类型的函数极限:1)limf?x?;2)limf?x?;3)limf?x?x?x?x?f?x?;6)limf?x?。4)limf?x?;5)limx?x0 x?x0 x?x0它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第 4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.定理 32(唯一性)若极限 limf?x?存在,则此极限是唯一的 x?x0证设?,?都是 f 当 x?x0 时的极限,则对任给的
5、 0,分别存在正数?1 与?2,使得当 0?x?x01 时有f?x?,(1)当 0?x?x02 时有f?x?,(2)取 min1,?2?,则当 0?x?x0 时,(1)式与(2)式同时成立,故有(f?x?)f?xf?xf?x2?由?的任意性得?,这就证明了极限是唯一的.定理 3。3(局部有限性)若 limf?x?存在,则 f 在 x0 的某空心邻域 u0?x0?内有界 x?x0证设 limf?x?取 1,则存在 0 使得对一切 x?u0?x0;有 x?x03f?x1?f?x?1这就证明了 f 在 u0?x0;内有界定理 34(局部保号性)若 limf?x0(或?0),则对任何正数 r(或 x?
6、x0r?),存在 u0?x0?,使得对一切 x?u0?x0?有f?xr?0(或 f?x?r?0)证设 0,对任何 r?(0,?),取 r,则存在 0,使得对一切x?u0?x0;f?xr,这就证得结论对于 0 的情形可类似地证明注在以后应用局部保号性时,常取 r?a2x?x0 定理 35(保不等式性)设 limf?x?与都 limg?x?都存在,且在某邻域u0 x0;?内 x?x0有 f?xg?x?则limf?xlimg?x?()x?x0 x?x0证设 limf?x?=?,limg?x?=?,则对任给的 0,分别存在正数?1与?2 使x?x0 x?x0得当 0?x?x01 时有f?x?,当 0?
7、x?x02 时有g?x?令 min?,?1,?2,则当 0?x?x0 时,不等式 f?xg?x?与(4)、(5)两式同时成立,于是有f?xg?x?从而 2?由?的任意性推出?,即(3)式成立定理 36(迫敛性)设 limf?x?=limg?x?=,且在某 u0 x0;?内有 x?x0 x?x0f?x则 limh?x?x?x0h?xg?x?证按假设,对任给的 0,分别存在正数?1 与?2,使得当 0?x?x01 时有,2f?x?(7)当 0?x?x02 时有g?x?(8)令 min?,?1,?2,则当 0?x?x0 时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有4f?xh?xg?x?由此得 h?
8、x?,所以 limh?x?x?x0?定理3(四则运算法则)7若极限limf?x?与limg?x?都存在,则函数 x?x0 x?x0f?g,f?g 当 x?x0 时极限也存在,且1)lim?f?xg?x?limf?xlimg?x?;x?x0 x?x0 x?x02)lim?f?x?g?x?x?x0 x?x0limf?x?limg?x?;x?x0又若 limg?x0,则 f|g 当 x?x0 时极限存在,且有 x?x03)limx?x0f?xgxx?x0limf?x?limg?x?x?x0这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的
9、函数极限出发,计算较复杂的函数极限例 1 求 limxx?0?x?解当 x?0 时有1?x?x?1,?x1?1?1?x?1?故由迫敛性得:xlim 而 limx=1?0?x?0 x?另一方面,当 x?0 有 1?x?1?x,故又由迫敛性又可得:lim x?1?x?0?xx?综上,我们求得 lim x?1 x?0?x?3?1111?例 2 求 lim?xtanx?1?x解由 xtanx?xsinx 及1 例 4 所得的,cosxsixn?si?limx?442?limcoxs,?2x?4并按四则运算法则有limsinx?xtanx?1?=limx?limx?x4?4x4limcosxx?1=?l
10、im?x?4?1 4例 3 求 lim?31?3?x1x?1x?15解 当 x?1?0 时有?x?1x?2x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的极限等于x?2?1?2?1 2x1x2?x?1?11?1lim例 4 证明 lima?1?a?1?xx?0证任给 0(不妨设 1),为使xa?1(9)即 1?a?1,利用对数函数 logaloga?1x?loga?1?于是,令 x(当 a?1 时)的严格增性,只要 min?loga?1?,?loga?1,则当 0?x时,就有(9)式成立,从而证得结论 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理
11、的应用作总结.课外作业:p51 2、3、5、7、8、9.第三篇:2 函数极限的性质数学分析上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院2 函数极限的性质教学章节:第三章函数极限2 函数极限的性质教学目标:使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点:函数极限的性质及其计算.教学难点:函数极限性质证明及其应用.教学方法:讲练结合.教学过程:引言在1 中我们引进了下述六种类型的函数极限:1、limf(x);2、limf(x);3、limf(x);4、limf(x);5、limf(x);6、limf(x).x?x?xx?x0 x
12、?x0?x?x0?6它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以 limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至x?x0于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质 1(唯一性)如果 x?alimf(x)x?alimf(x)存在,则必定唯一.证法一设?a,x?alimf(x)?b,则?0,1?0,当 0?|x?a|1 时,|f(x)?a|,(1)2?0,当 0?|x?a|2 时,|f(x)?b|.(2)min1,?2?取因而有,则当 0?x?a 时(1)和(2)同时成立.a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)由?的任意性,
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