【奥赛】小学数学竞赛:同余问题.学生版解题技巧 培优 易错 难.pdf
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1、5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题教学目标教学目标1.学习同余的性质2.利用整除性质判别余数知识点拨知识点拨同余定理1 1、定义:定义:若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:ab(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a 同余于 b,模 m。2 2、重要性质及推论:、重要性质及推论:(1)若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除例如:17与11除以3的余数都是2,所以能被3整除(1711)(2)用式子表示为:如果有ab(mod m),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|
2、(ab)3 3、余数判别法、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被 m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得:N与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数,所以可以通过计算R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数;整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数;整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数;
3、整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被3 或 9 除的余数;整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数;(不够减的话先适当加 11 的倍数再减);整数 N 被 7,11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7,11 或 13 除的余数就是原数被7,11 或 13 除的余数例题精讲例题精讲模块一、两个数的同余问题【例【例 1 1】有一个整数,除有一个整数,除 39,51,14739,51,147 所得的余数都是所得的余数都是 3 3,求这个数,求这个数.【例【例 2
4、2】某个两位数加上某个两位数加上 3 3 后被后被 3 3 除余除余 1 1,加上加上 4 4 后被后被 4 4 除余除余 1 1,加上加上 5 5 后被后被 5 5 除余除余 1 1,这个两位数是这个两位数是_._.【例【例 3 3】有一个自然数,除有一个自然数,除 345345 和和 543543 所得的余数相同,且商相差所得的余数相同,且商相差 3333求这个数是多少?求这个数是多少?【例【例 4 4】一个大于一个大于 1010 的自然数去除的自然数去除 9090、164164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220220 后所得的余数,后所
5、得的余数,则这个自然数是多少?则这个自然数是多少?【例【例 5 5】两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 7 都余都余 1 1,并且,并且a b,求,求abba【例【例 6 6】现有糖果现有糖果 254254 粒粒,饼干饼干 210210 块和桔子块和桔子 186186 个个.某幼儿园大班人数超过某幼儿园大班人数超过 40.40.每人分得一样多的糖果每人分得一样多的糖果,一样一样多的饼干多的饼干,也分得一样多的桔子。也分得一样多的桔子。余下的糖果、余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是:饼干和桔子的数量的比是:1 1:3 3:2 2,这个大班有这个大班有_名小朋友,每人分得糖果名小朋友,每
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