全国通用版2019版高考数学一轮复习第十三单元椭圆双曲线抛物线学案文201806133204_20210103224754.doc
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1、第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过椭圆过双基1椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是椭圆;(2)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是线段;(3)当2a|F1F2|时,P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围byayax,bx,对称性对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0
2、)顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为,短轴B1B2的长为焦距|F1F2|离心率e,e(0,1)a,b,c的关系c2a2b21(2017·浙江高考)椭圆1的离心率是()A.B.C. D.解析:选B根据题意知,a3,b2,则c,椭圆的离心率e.2在平面直角坐标系xOy中,ABC上的点A,C的坐标分别为(4,0),(4,0),若点B在椭圆1上,则()A. B.C. D.解析:选D由椭圆1,得椭圆的半焦距为4,则A(4,0)和C(4,0)为椭圆1的两个焦点点B在椭圆1上, 作出示
3、意图如图所示,.3已知椭圆1(m0)的焦距为8,则m的值为()A3或 B3C. D±3或±解析:选A当m5时,焦点在x轴上,焦距2c8,则c4,由25m216,得m3;当m5时,焦点在y轴上,焦距2c8,则c4,由m22516,得m, 故m的值为3或. 4若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为,则m_.解析:因为焦点在x轴上,所以0m2,所以a22,b2m,c2a2b22m.因为椭圆的离心率为e,所以e2,解得m.答案:清易错1求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为1(ab0)2注意椭圆的范围,在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x,y)时,|x|a,|y|b,这
4、往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因1已知椭圆1的离心率为,则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析:选D当94k0,即5<k<4时,a3,c29(4k)5k,解得k;当94k,即k5时,a,c2k5,解得k21,k的值为或21.2已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为()A. B.C. D.解析:选B由椭圆方程知c1,所以F1(1,0),F2(1,0)因为椭圆C上点A满足AF2F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y,所以y0
5、77;.设P(x1,y1),则(x11,y1),(0,y0),所以·y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以y1,故·的最大值为.双曲线过双基1双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;(2)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在2标准方程(1)中心在
6、坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a>0,b>0)3双曲线的性质标准方程1(a>0,b>0)1(a>0,b>0)图形性质范围xa或xa,yRya或ya,xR对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线y±xy±x离心率e,e(1,)a,b,c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|;a叫做双曲线的实
7、半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长1(2017·天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析:选D由OAF是边长为2的等边三角形可知,c2,tan 60°.又c2a2b2,联立可得a1,b,双曲线的方程为x21.2已知双曲线过点(2,3),其中一条渐近线方程为yx,则双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析:选C由双曲线的一条渐近线方程为yx,可设其方程为x2(0)又双曲线过点(2,3), 则22, 解得1,所以双曲线的方程为x21,
8、即x21.3(2018·张掖一诊)如图,F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A.若ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B4C. D.解析:选A依题意得|AB|AF2|BF2|,结合双曲线的定义可得|BF1|2a,|BF2|4a,|F1F2|2c,因为ABF2为等边三角形,所以F1BF2120°,由余弦定理,可得4a216a22×2a×4a×4c2,整理得,故选A.4已知F为双曲线C:1的左焦点,P,Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则
9、PQF的周长为_解析:由题意得,|FP|PA|6,|FQ|QA|6,两式相加,利用双曲线的定义得|FP|FQ|28,所以PQF的周长为|FP|FQ|PQ|44.答案:44清易错1注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c关系,在椭圆中a2b2c2,而在双曲线中c2a2b2.2易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上,渐近线斜率为±,当焦点在y轴上,渐近线斜率为±.1双曲线1(0m3)的焦距为()A6 B12C36 D2解析:选Bc236m2m236,c6,双曲线的焦距为12.2已知直线l:4x3y200经过双曲线C:1的一个焦点,且与双曲线C的一
10、条渐近线平行,则双曲线C的实轴长为()A3 B4C6 D8解析:选C双曲线C:1的焦点在x轴上,直线l:4x3y200与x轴的交点为(5,0)a2b2c225.直线l:4x3y200与双曲线C:1的一条渐近线平行,. 由解得a3,双曲线C的实轴长为2a6.抛物线过双基1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点
11、FFFF离心率e准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01已知抛物线顶点在原点,焦点为双曲线1的右焦点,则此抛物线的方程为()Ay22x By24xCy210x Dy220x解析:选D双曲线1的右焦点为(5,0) ,由题意,设抛物线方程为y22px(p0) ,抛物线的焦点为双曲线1的右焦点,5,p10,抛物线方程为y220x.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A. B.C. D0解析:选B点M到准线的距离等于点M到焦点的距离,又准线方程为y,设
12、M(x,y),则y1,故y.3若点P为抛物线y2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为()A2 B.C. D. 解析:选D设点P到准线的距离为d,则有|PF|d,又抛物线的方程为y2x2,即x2y, 则其准线方程为y, 所以当点P在抛物线的顶点时,d有最小值,即|PF|的最小值为.4已知抛物线y26x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为_解析:可知抛物线y26x的焦点F,设P(x,y),x0.由抛物线的定义,得点P到焦点的距离d1xx,点P到y轴的距离d2x.由x2x,解得x,该点的横坐标为.答案:清易错1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定
13、点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中的参数p,易忽视只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义1动圆过点(1,0),且与直线x1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案:y24x2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析:由8x2y0,得x2y.2p,p,焦点为.答案:直线与圆锥曲线的位置关系过双基1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程AxByC0(A,B不同时为0)代入
14、圆锥曲线C的方程F(x,y)0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y,得ax2bxc0.(1)当a0时,设一元二次方程ax2bxc0的判别式为,则>0直线与圆锥曲线C相交;0直线与圆锥曲线C相切;<0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0,b0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2|
15、· ·|y1y2| ·.1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定解析:选A因为直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交2过抛物线x28y的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点M的纵坐标为4,则|AB|_.解析:由题意,可得焦点F(0,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y28,过焦点的弦长|AB|y1y2p8412.答案:123已知双曲线C:1(a0,b0)的渐近线与圆(x2)2y21相交,则双曲线C的离心率的取值范围是_解析:双曲线的渐近线为bx±a
16、y0,其与圆相交,则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径,即1,3b2a2,c2a2b2a2,e.又e1,1e.答案:清易错1直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点2直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2C1或2 D0解析:选A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行,所以它与双曲线只有1个交点2过点(0,1)作直线,使它与抛物线y24x仅有一个公共点,这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析:选C结合图形分析可
17、知,满足题意的直线共有3条:直线x0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0).一、选择题1抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为()Ay8x2By16x2Cx28y Dx216y解析:选D根据题意知,点P(m,1)在x轴上方,则抛物线开口向上,设其标准方程为x22py,其准线方程为y,由点P到焦点的距离为5,得15, 解得p8,则抛物线的标准方程为x216y.2椭圆1的焦距为2,则m的值为()A9 B23C9或23 D16或16解析:选C由椭圆1的焦距为2,可得,22或22,解得m9或23. 3
18、过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1x26,则|PQ|()A9 B8C7 D6解析:选B抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.根据题意可得,|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.4若双曲线C:y21的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,满足·0的点P依次记为P1,P2,P3,P4,则四边形P1P2P3P4的面积为()A. B2C. D2解析:选C设P(x,y),由已知得F1(,0),F2(,0),则(x,y)·(x,y)x25y20,即x2y25,与双曲线方程y21联立,可得交点分别为,它
19、们构成一个长为,宽为的长方形,所以四边形P1P2P3P4的面积为×.5若双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()Ay±3x By±xCy±2x Dy±x解析:选D因为双曲线1(a0,b0)的离心率为,所以e,即e2110,所以3.因为双曲线1的焦点在y轴上,其渐近线方程为y±x,所以该双曲线的渐近线方程为y±x.6已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析:选A由椭圆的
20、性质知|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,又|AF1|AF2|BF1|BF2|4,a.又e,c1,b2a2c22,椭圆的方程为1.7已知双曲线1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析:选C由题意知F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y±x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选C.8已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. B.C1 D.解析:选B如图,设椭圆的长半轴长为a1,
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