全国通用版2019版高考数学一轮复习第七单元平面向量学案文201806133175_20210103224749.doc
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1、第七单元 平面向量教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过向量的有关概念过双基名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01若向量a与b不相等,则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析:选C若a与b都是零向量,则a
2、b,故选项C正确2关于平面向量,下列说法正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析:选C对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确,故选C.3下列命题中,正确的个数是()单位向量都相等;模相等的两个平行向量是相等向量;若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;若两个向量相等
3、,则它们的起点和终点分别重合A0 B1C2 D3解析:选A对于,单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故错误;对于,模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故错误;对于,向量是有方向的量,不能比较大小,故错误;对于,向量是可以平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故错误综上,正确的命题个数是0.清易错1对于平行向量易忽视两点:(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制1若mn,nk,则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析:选D可举特例,当n0时,满足mn,
4、nk,故A、B、C选项都不正确,故D正确2设a,b都是非零向量,下列四个选项中,一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab解析:选C“0,且a,b都是非零向量”等价于“非零向量a,b共线且反向”,故答案为C.向量共线定理及平面向量基本定理过双基1向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数,使得ba.2平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1已知a,b是不共线的向量,ab,ab,R,则A,B,C三点共线的充
5、要条件为()A2B1C1 D1解析:选DA,B,C三点共线,设m(m0),即abmamb,1.2(2018·南宁模拟)已知e1,e2是不共线向量,ame12e2,bne1e2,且mn0,若ab,则的值为()A B.C2 D2解析:选Cab,ab,即me12e2(ne1e2),则故2.3已知点M是ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且2,则()A. B.C. D.解析:选C如图,2,().清易错1在向量共线的重要条件中易忽视“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个2平面向量基本定理指出:平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和,并且一旦分解方向确定后
6、,这种分解是唯一的这一点是易忽视的1(2018·大连双基测试)给出下列四个命题:两个具有公共终点的向量一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;a0(为实数),则必为零;,为实数,若ab,则a与b共线其中假命题的个数是()A1 B2C3 D4解析:选C错误,两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点;正确,因为向量既有大小,又有方向,故向量不能比较大小,但向量的模均为实数,故可以比较大小;错误,当a0时,不论为何值,都有a0;错误,当0时,ab,此时a与b可以是任意向量2.如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,xy,且2,则()Ax,y Bx,yCx,y Dx,y
7、解析:选A由题意知,又2,所以(),所以x,y.平面向量的运算过双基1向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:abba;(2)结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|;(2)当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0( a)()a;()aa a;(ab)ab2平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标运算向量加法、减法
8、、数乘向量及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.向量坐标的求法设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1y2x2y10.1(2018·嘉兴测试)在ABC中,已知M是BC边的中点,设a,b,则()A.abB.abCab Dab解析:选Aba.2设D是线段BC的中点,且4,则()A2 B4C2 D4解析:选AD是线段BC的中点,2,4,2.3已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线,(2,4),
9、(1,3),则()A(1,1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析:选A由题意可得(1,3)(2,4)(1,1)4已知A(2,3),B(4,3),且3,则点P的坐标为_解析:设P(x,y),A(2,3),B(4,3),且3,(x2,y3)3(2,6)(6,18),解得x8,y15,点P的坐标为(8,15)答案:(8,15)5已知向量a(1,3),b(2,1),c(3,2)若向量c与向量kab共线,则实数k_.解析:kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1),因为向量c与向量kab共线,所以2(k2)3(3k1)0,解得k1.答案:16设O在ABC的内部,D为AB的中点,且20,则AB
10、C的面积与AOC的面积的比值为_解析:D为AB的中点,2,20,O是CD的中点,SAOCSAODSAOBSABC.答案:4清易错1向量坐标不是向量的终点坐标,与向量的始点、终点有关系2数乘向量仍为向量,只是模与方向发生变化,易误认为数乘向量为实数3若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2x2y10.1若向量(1,2),(3,4),则()A(2,2) B(2,2)C(4,6) D(4,6)解析:选C(4,6)2已知向量a,b不共线,若a2b,4ab,5a3b,则四边形ABCD是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析:选
11、A因为a2b,4ab,5a3b,所以8a2b,所以2,即直线AD与BC平行,而向量与不共线,即直线AB与CD不平行,故四边形ABCD是梯形3(2018·河北联考)已知向量a(1,2),b(2,m),若ab,则2a3b()A(5,10) B(2,4)C(3,6) D(4,8)解析:选D由ab,得m40,即m4,所以2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8)平面向量的数量积过双基1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b,作a,b,则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角,则的取值范围是0°180°0°或180°ab,90°
12、ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积,记作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a,b.结论几何表示坐标表示模|a|a
13、|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|1设向量e1,e2是两个互相垂直的单位向量,且a2e1e2,be2,则|a2b|()A2 B.C2 D4解析:选B向量e1,e2是两个互相垂直的单位向量,|e1|1,|e2|1,e1·e20,a2e1e2,be2,a2b2e1e2,|a2b|24e4e1·e2e5,|a2b|.2(2018·云南检测)设向量a(1,2),b(m,1),如果向量a2b与2ab平行,那么a与b的数量积等于()A BC. D.解析:选
14、D因为a2b(12m,4),2ab(2m,3),由题意得3(12m)4(2m)0,则m,所以a·b1×2×1.3已知|a|1,|b|2,a·(ab)3,则a与b的夹角为()A. B.C. D解析:选D设a与b的夹角为,由题意知|a|1,|b|2,a·(ab)a2a·b121×2×cos 3,cos 1.又0,a与b的夹角为.4已知向量a,b满足|a|2,|b|1,a与b的夹角为,则|a2b|_.解析:(a2b)2a24a·b4b244×2×1×44,|a2b|2.答案:25(
15、2018·衡水中学检测)在直角三角形ABC中,C90°,AB2,AC1,若,则·_.解析:,·()···2,又C90°,AB2,AC1,CB,·.答案:6(2018·东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2,2,(),则·_.解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则B(0,0),E,D(2,2)由(),知F为BC的中点,所以F(1,0),故,(1,2),·2.答案:清易错10与实数0的区别:0a00,a(a)00,a·00
16、0.2a·b0不能推出a0或b0,因为a·b0时,有可能ab.3在运用向量夹角时,注意其取值范围为0,1有下列说法:向量b在向量a方向上的投影是向量;若a·b>0,则a和b的夹角为锐角,若a·b<0,则a和b的夹角为钝角;(a·b)ca(b·c);若a·b0,则a0或b0.其中正确的说法个数为()A0 B3C4 D2答案:A2已知a(1,3),b(2,1),且a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是_解析:由题意可得a·b>0,且a,b不共线,即解得>5,且.答案:3已知向量a,b满足a(2,
17、0),|b|1,若|ab|,则a与b的夹角是_解析:由|ab|,得(ab)2a22a·bb242a·b17,a·b1,|a|·|b|·cosa,b1,cosa,b.又a,b0,a,b的夹角为.答案:一、选择题1(2018·常州调研)已知A,B,C三点不共线,且点O满足0,则下列结论正确的是()ABC D解析:选D0,O为ABC的重心,×()()()(2).2(2018·合肥质检)已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若20,则向量等于()A. BC2 D2解析:选C因为,所以22()()20,所以2.3已知向量a
18、与b的夹角为30°,且|a|,|b|2,则|ab|的值为()A1 B.C13 D.解析:选A由向量a与b的夹角为30°,且|a|,|b|2,可得a·b|a|·|b|·cos 30°×2×3,所以|ab|1.4(2018·成都一诊)在边长为1的等边ABC中,设a,b,c,则a·bb·cc·a()A B0C. D3解析:选A依题意有a·bb·cc·a.5已知非零向量a,b满足a·b0,|a|3,且a与ab的夹角为,则|b|()A6 B3C2
19、 D3解析:选D由非零向量a,b满足a·b0,可知两个向量垂直,由|a|3,且a与ab的夹角为,说明以向量a,b为邻边,ab为对角线的平行四边形是正方形,所以|b|3.6(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中,已知向量a(1,2),ab(3,1),c(x,3),若(2ab)c,则x()A2 B4C3 D1解析:选D依题意得b2(4,2),所以2ab(2,6),所以6x2×36,x1.7在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,且AOC,且|2,若,则()A2 B.C2 D4解析:选A因为|2,AOC,所以C(,),又
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