2022届高三数学一轮复习(原卷版)第1讲 空间几何体的结构、表面积与体积.doc
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1、 第 1 讲 空间几何体的结构、表面积与体积 一、知识梳理 1空间几何体的结构特征 2直观图 (1)画法:常用斜二测画法 (2)规则:原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x轴,y轴的夹角为 45 (或135 ),z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(rr)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积
2、柱体(棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 VS底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V13S底h 台体(棱台和圆台) S表面积S侧S上S下 V13(S上S下 S上S下)h 球 S4R2 V43R3 常用结论 1.特殊的四棱柱 四棱柱 底面为平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面直平行六面体 底面为矩形长方体 底面边长相等正四棱柱 侧棱与底面边长相等正方体 上述四棱柱有以下集合关系:正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变. “三不变”平行性不改变,与x,z轴平行的线段的长度
3、不改变,相对位置不改变. 3正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a,球的半径为 R, (1)若球为正方体的外接球,则 2R 3a; (2)若球为正方体的内切球,则 2Ra; (3)若球与正方体的各棱相切,则 2R 2a. 二、教材衍化 1在如图所示的几何体中,是棱柱的为_(填写所有正确的序号) 答案: 2已知圆锥的表面积等于 12 cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为_cm. 解析:由题意,得 S表r2rlr2r2r3r212,解得 r24,所以 r2(cm) 答案:2 3.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_
4、解析: 设长方体的相邻三条棱长分别为 a, b, c, 它截出棱锥的体积 V1131212a12b12c148abc,剩下的几何体的体积 V2abc148abc4748abc,所以 V1V2147. 答案:147 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台( ) (4)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( ) (5)菱形的直观图仍是菱形( ) (6)多面体的表面积等于各个
5、面的面积之和( ) (7)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( ) (8)长方体既有外接球又有内切球( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对空间几何体的结构特征认识不到位; (2)锥体的高与底面不清楚致误; (3)不会分类讨论致误 1下列结论中错误的是( ) A由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B正棱台的对角面一定是等腰梯形 C圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 解析:选 A由五个面围成的多面体可以是四棱锥,所以 A 选项错误B,C,D 说法均正确 2如图,长方体 AB
6、CD- A1B1C1D1的体积是 120,E 为 CC1的中点,则三棱锥 E- BCD 的体积是_ 解析:设长方体中 BCa,CDb,CC1c,则 abc120, 所以 VEBCD1312ab12c112abc10. 答案:10 3将一个相邻边长分别为 4,8 的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是_ 解析:当底面周长为 4 时,底面圆的半径为 2,两个底面的面积之和是 8;当底面周长为 8 时,底面圆的半径为 4,两个底面的面积之和为 32.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积 322,故所求的表面积是 3228 或 32232. 答案:3228 或 32232 考点一 空间几何体的结构特征
7、(基础型) 复习指导| 利用实物模型认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 核心素养:数学抽象 1给出下列几个命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱; 棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析:选 B不一定,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;正确;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等 2给出以下命题: 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋
8、转一周所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; 一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析:选 B由圆台的定义可知错误正确对于命题,只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,不正确 3给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; 在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体 其中正确命题的序号是_ 解析:不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;正确, 若
9、三棱锥的三条侧棱两两垂直, 则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图,正方体 ABCD- A1B1C1D1中的三棱锥 C1 ABC,四个面都是直角三角形 答案: 空间几何体概念辨析问题的常用方法 考点二 空间几何体的直观图(基础型) 复习指导| 会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易 组合)的直观图 核心素养:直观想象 1如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形 ABCD 为( ) A平行四边形 B梯形 C菱形 D矩形 解析:选 D由斜二测画法可知在原四边形 ABCD 中 DA
10、AB,并且 ADBC,ABCD,故四边形 ABCD 为矩形 2.一平面四边形 OABC 的直观图 OABC如图所示,其中 OCx,ABx,BCy,则四边形 OABC 的面积为 ( ) A3 22 B3 2 C3 D32 解析:选 B平面四边形 OABC 的直观图 OABC是直角梯形,其面积为12(12)132; 根据平面图形与它的直观图面积比为 124, 计算四边形 OABC 的面积为32243 2.故选 B 3 已知等边三角形 ABC 的边长为 a, 那么ABC 的平面直观图ABC的面积为( ) A34a2 B38a2 C68a2 D616a2 解析:选 D如图所示的实际图形和直观图, 由可
11、知,ABABa,OC12OC34a,在图中作 CDAB于 D,则 CD22OC68a.所以 SABC12ABCD12a68a616a2.故选 D 平面图形与其直观图的关系 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半 (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图24S原图形 考点三 空间几何体的表面积与体积(基础型) 复习指导| 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 核心素养:直观想象、数学运算 角度一 空间几何体的表面积 (1)(2020 河南周口
12、模拟)如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1中,AA1底面 ABC,ABBC,AA1AC2,直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30 ,则该三棱柱的侧面积为( ) A44 2 B44 3 C12 D84 2 (2)(2020 四川泸州一诊)在梯形 ABCD 中,ABC2,ADBC,BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A(5 2) B(4 2) C(52 2) D(3 2) 【解析】 (1)连接 A1B.因为 AA1底面 ABC,则 AA1BC,又 ABBC,AA1ABA,所以 BC平面 AA1B1B,所以直线
13、 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为CA1B30 .又 AA1AC2,所以 A1C2 2,BC 2.又 ABBC,则 AB 2,则该三棱柱的侧面积为 2 222244 2,故选 A (2)因为在梯形 ABCD 中, ABC2, ADBC, BC2AD2AB2, 所以将梯形 ABCD绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB1,高为BCAD211 的圆锥, 所以该几何体的表面积 S122121 1212(5 2).故选 A 【答案】 (1)A (2)A 三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法
14、求多面体的表面积. 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. 求不规则几何 体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积. 角度二 空间几何体的体积 (2020 贵州部分重点中学联考)如图,在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中,底面 ABCD是平行四边形,点 E 是棱 BB1的中点,点 F 是棱 CC1上靠近 C1的三等分点,且三棱锥 A1AEF 的体积为 2,则四棱柱 ABCD- A1B1C1D
15、1的体积为( ) A12 B8 C20 D18 【解析】 设点 F 到平面 ABB1A1的距离为 h,由题意得 VA1- AEFVF- A1AE.又 VF- A1AE13 SA1AEh1312AA1AB h16(AA1AB) h16S四边形ABB1A1h16VABCD- A1B1C1D1,所以VABCD- A1B1C1D16VA1- AEF6212.所以四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的体积为 12.故选 A 【答案】 A (1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体,利用相关公式直接计算 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不
16、规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算 等体 积法 选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 1.如图所示,已知三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长均为 1,且 AA1底面 ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为( ) A312 B34 C612 D64 解析:选 A三棱锥 B1- ABC1的体积等于三棱锥 A- B1BC1 的体积,三棱锥 A- B1BC1的高为32,底面积为12,故其体积为131232312. 2在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40 cm,母线长最短 50 cm,
17、最长80 cm,则斜截圆柱的侧面面积 S_cm2. 解析:将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱,则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积 S12(5080)(40)2 600(cm2) 答案:2 600 3(2019 高考全国卷)学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型如图,该模型为长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几何体, 其中 O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,ABBC6 cm,AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_g. 解析: 长方体 AB
18、CD- A1B1C1D1的体积 V1664144(cm3),而四棱锥 O- EFGH 的底面积为矩形BB1C1C的面积的一半, 高为 AB 长的一半, 所以四棱锥O- EFGH 的体积 V2131246312(cm3),所以长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得几何体的体积 VV1V2132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g) 答案:118.8 考点四 空间几何体中的接、切问题(综合型) 复习指导| 空间几何体中的接、切问题主要是与球有关的接、切,求解关键是找出球心所在的位置 (1)若直三棱柱 ABC- A1B1C1的 6 个
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