专题8.8 立体几何综合问题 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析版.docx
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1、专题8.8 立体几何综合问题新课程考试要求1.会解决简单的立体几何问题.2会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题.3会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测(1)立体几何中的动态问题.(2)立体几何中的探索性问题.(3)平面图形的翻折问题.(4)立体几何与传统文化(5)立体几何新定义问题(6)利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答题中的一问为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系
2、是主要命题方向空间的角与距离的计算(特别是角的计算)是高考热点,一般以大题的条件或一小问形式呈现,考查用向量方法解决立体几何问题,将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系,并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题,即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系,第二问则通过建立空间直角坐标系,利用空间向量方法进一步求角或距离.【考点分类剖析】考点一 :立体几何中的动态问题【典例1】(2021·福建高二期末)在棱长为1的正方体中,点,分别足,其中,则( )A当时,三棱锥的体积为定值B当时,点,到平面的距离相等C当时,存在使得平面D
3、当时,【答案】ABD【解析】由即可判断A;当时,点是的中点可判断B;建立空间直角坐标系,计算可判断C;设,求出所需各点坐标,计算可判断D,进而可得正确选项.【详解】对于A:当时,此时点位于点处,三棱锥,为定值,点到面的距离为是定值,所以三棱锥的体积为定值,即三棱锥的体积为定值,故选项A正确;对于B:当时,点是的中点,所以点,到平面的距离相等,故选项B正确;对于C:当时,点是的中点,建立如图所示空间直角坐标系,则,可得,所以,所以与不垂直,所以不存在使得平面,故选项C不正确;对于D:设,则,所以,因为,所以,故选项D正确;故选:ABD.【典例2】(2020·四川南充·高三其他
4、(理)已知三条射线,两两所成的角都是60°.点在上,点在内运动,则点的轨迹长度为( )ABCD【答案】C【解析】如图,过作平面于,则点在的平分线上,在平面内,作于,连结,根据三垂线定理,则,点的轨迹是以为圆心,6为半径的圆在内的圆弧,圆弧的长度为:故选:C【总结提升】1.立体几何中的动态问题主要包括:空间动点轨迹的判断,求轨迹的长度及动角的范围等2一般是根据线、面垂直,线、面平行的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹【变式探究】1.(2020·河北新华·石家庄二中高三月考(理)如图,正方体中,P为底面上的动点,于E,且则点P的轨迹是( )A线
5、段B圆C椭圆的一部分D抛物线的一部分【答案】A【解析】连结,可证,即,即点E是体对角线上的定点,直线AE也是定直线,动点P必定在线段AE的中垂面上,则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹,所以动点P的轨迹是线段故选:A2【多选题】(2021·重庆巴蜀中学高三月考)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为,设圆台的体积为,则下列选项中说法正确的是( )A当时,B当在区间内变化时,先增大后减小C不存在最大值D当在区间内变化时,逐渐减小【答案】AB【解析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数,容易判断A;利用导数探讨该函数的单调性和最值,可以判断
6、B,C,D.【详解】,对选项正确;,设,则在上单调递减,设的两根为,由韦达定理知,且当;2),在单调递增,在单调递减,由,使得,当,即当,即,所以在单调递增,在单调递减,则B正确,C,D错误,故选:.考点二 : 立体几何中的探索性问题【典例3】(2021·广东高二期末)如图,在正方体中,是棱的中点(1)求二面角的余弦值;(2)在棱(包含端点)上是否存在点,使平面,给出你的结论,并证明【答案】(1);(2)不存在,证明见解析.【解析】(1)以为正交基底建立直角坐标系,求出相应点的坐标,再求平面的一个法向量为和面的一个法向量为,然后计算法向量夹角的余弦值,即可得二面角的余弦值;(2) 设
7、的坐标为,若在棱(包含端点)上存在点,使平面,根据求出,再判断即可.【详解】(1)解:设正方体的边长为单位长度,建立如图直角坐标系,则,所以,设平面的一个法向量为,则,即,可得平面的一个法向量为又因为平面的一个法向量为,所以所以二面角的余弦值为(2)不存在.证明:设的坐标为,因为的坐标为,所以,若在棱(包含端点)上存在点,使平面,则,所以,即,与矛盾,所以棱(包含端点)上不存在点,使平面【典例4】(2020·全国)如图,是的直径,点B是上与A,C不重合的动点,平面.(1)当点B在什么位置时,平面平面,并证明之;(2)请判断,当点B在上运动时,会不会使得,若存在这样的点B,请确定点B的
8、位置,若不存在,请说明理由.【答案】(1)当时,平面平面,证明见解析,(2)不存点B使得,理由见解析【解析】 (1)当时,平面平面,证明如下:平面,平面,平面平面,平面平面,平面,平面,平面平面;(2)假设存在点B,使得,点B是上的动点,又,平面,平面,平面,设,在中,有,在中,有,可得,故为锐角,这与矛盾,故不存点B使得.【典例5】(2020·全国高二课时练习)如图,在三棱柱中,平面,.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的大小;(3)点在线段上,且,点在线段上,若平面,求的值(用含的代数式表示).【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)在三棱柱中,由平面,所以平面
9、,又因为平面,所以平面平面,交线为.又因为,所以,所以平面.因为平面,所以又因为,所以,又,所以平面.(2)由(1)知底面,如图建立空间直角坐标系,由题意得,.所以,.所以.故异面直线与所成角的大小为.(3)易知平面的一个法向量,由,得.设,得,则因为平面,所以,即,解得,所以.【规律方法】求解立体几何中探索问题的策略1条件探索性问题(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件如本例(2)先根据题意猜测点的位置再结合证明一般探索点存在问题,点多为中点或三等分点中的一个2结论探
10、索性问题首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设【变式探究】1(2020·四川泸县五中高二开学考试(理)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,.过顶点,的平面与棱,分别交于,两点.()求证:;()求证:四边形是平行四边形;()若,试判断二面角的大小能否为?说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不能为.【解析】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,
11、所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(3)不能.如图,作交于点,延长交于点,连接,由,所以平面,则平面,又,根据三垂线定理,得到,所以是二面角的平面角,若,则是等腰直角三角形,又,所以中,由大角对大边知,所以,这与上面相矛盾,所以二面角的大小不能为.2(2021·重庆巴蜀中学高三月考)已知在四棱锥中,平面平面,且是正方形.若.(1)求四棱锥的体积;(2)在线段上是否存在一点满足:二面角的余弦值为?若存在,请求出的比值.若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【解析】(1)根据条件先求解正方形的边长,再求解四棱锥的高,从而可求体积;(2)先建立空间直角坐标系,求解平面的
12、法向量,利用二面角的余弦值为,求出,结合的范围可得结果.【详解】(1)设正方形的边长为,取的中点,连接.由平面平面,则,所以平面,则,又,所以,则解出,所以体积.(2)以为坐标原点,平行于为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,所以,设平面的法向量,由且,所以且,令,可得,而为平面的一个法向量,所以,解得,有或,由于点在线段上,所以.3(2020·浦东新·上海师大附中高二期中)设四边形为矩形,点为平面外一点,且平面,若,.(1)求与平面所成角的正切值;(2)在边上是否存在一点,使得点到平面的距离为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;(
13、3)若点是的中点,在内确定一点,使的值最小,并求此时的值.【答案】(1);(2)存在,;(3)、三点共线,【解析】 (1)因为平面,平面,所以,又因为底面是矩形,所以,所以由线面垂直的判定定理可得:平面,所以与平面所成角既为,又由题意可得:,所以tanCPD=.所以与平面所成角的正切值为.(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作,则平面,所以.,故存在点G,当时,使点D到平面的距离为.(3)延长CB到,使,因为平面,平面,所以,又因为底面是矩形,所以,所以由线面垂直的判定定理可得:平面,则是点C关于面的对称点,连接,交面于H,则点H是使的值最小时,在面上的一点.作于M,则点M是AD的中点,连接
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