常微分方程及其应用优秀PPT.ppt
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1、常微分方程及其应用你现在浏览的是第一页,共41页n第一节微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念n第二节可分离变量的微分方程第二节可分离变量的微分方程n第三节齐次方程第三节齐次方程n第四节一阶线性微分方程第四节一阶线性微分方程n第五节可降阶的高阶微分方程第五节可降阶的高阶微分方程n第六节二阶常系数齐次线性微分方程第六节二阶常系数齐次线性微分方程 你现在浏览的是第二页,共41页例一曲线通过点例一曲线通过点 ,且在该曲线上任意点,且在该曲线上任意点 处处的的切切线线斜斜率率为为横横坐坐标标的的两两倍倍,求求这这曲曲线线的的方程。方程。在许多实际问题中,往往不能找出所需要的函数关在许多实际问题中,
2、往往不能找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式,这样的关系式就是所谓的找的函数及其导数的关系式,这样的关系式就是所谓的微分方程。微分方程。你现在浏览的是第三页,共41页一、微分方程一、微分方程凡凡表表示示未未知知函函数数、未未知知函函数数的的导导数数及及自自变变量量之之间间的关系的方程。(未知函数的导数必须出现。)的关系的方程。(未知函数的导数必须出现。)如如果果其其中中的的未未知知函函数数只只与与一一个个自自变变量量有有关关,则则称称为为常常微微分分方方程程;如如果果未未知知函函数数是是两两个
3、个或或两两个个以以上上自自变变量量的的函函数数,并并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程.判断下列方程是否为微分方程:判断下列方程是否为微分方程:否否是是是是你现在浏览的是第四页,共41页二、微分方程的阶二、微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。数。一阶一阶三阶三阶三阶三阶你现在浏览的是第五页,共41页三、微分方程的一般形式三、微分方程的一般形式1、一阶微分方程、一阶微分方程或或2、二阶微分方程、二阶微分方程或或你现在浏览的是第六页,共41页四、微分方程的解四、微分方程的解 若函数满足,把它及
4、它的导数代入微分方程时,能使方若函数满足,把它及它的导数代入微分方程时,能使方程恒成立,这样的函数称为程恒成立,这样的函数称为微分方程的解微分方程的解。1、微分方程的通解、微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解微分方程的通解。、微分方程的特解、微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的(即不含微分方程的解如果是完全确定的(即不含 任意任意 常数),就称为常数),就称为微分方程的特解微分方程的特解。你现在浏览的是第七页,共41页五、初值条件
5、五、初值条件 在通解中含有任意常数,为了得到特解必须根据一些在通解中含有任意常数,为了得到特解必须根据一些条件来确定这些常数,这种条件称为条件来确定这些常数,这种条件称为初值条件初值条件。一阶微分方程一阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程你现在浏览的是第八页,共41页 求一阶微分方程求一阶微分方程 满足初值条满足初值条件件 的特解这样一个问题,称为的特解这样一个问题,称为一阶微一阶微分方程的初值问题分方程的初值问题。六、初值问题六、初值问题记为记为你现在浏览的是第九页,共41页例例1验证函数验证函数 是微分方程是微分方程 的通解。的通解。例例2求例求例1中中 满足初始条件满足初始条件 ,的特解。
6、的特解。你现在浏览的是第十页,共41页例例3 已知曲线上点已知曲线上点 处的法线与处的法线与x轴的轴的交点为交点为Q,且线段,且线段PQ被被y轴平分,求曲线方程。轴平分,求曲线方程。你现在浏览的是第十一页,共41页定义定义 如果一个一阶微分方程能化成如果一个一阶微分方程能化成 ()()的形式,那么原方程称为的形式,那么原方程称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。设设 和和 的原函数分别为的原函数分别为 和和 。对对(1)两边积分,则得两边积分,则得 (2)二元方程()就称为微分方程()的二元方程()就称为微分方程()的隐式通隐式通解解。你现在浏览的是第十二页,共41页例例3 设降落伞下
7、落后,所受空气阻力与速度成正比设降落伞下落后,所受空气阻力与速度成正比(系数为(系数为k,k0)。设开始速度为)。设开始速度为0,求降落伞下落速,求降落伞下落速度与时间的函数关系。度与时间的函数关系。例例2求微分方程求微分方程 的通解。的通解。例例1 求微分方程求微分方程 满足满足 的通解。的通解。你现在浏览的是第十三页,共41页例例4 质量为质量为1g的质点受外力作用作直线运动,这的质点受外力作用作直线运动,这 外力和时间成正比。在外力和时间成正比。在 时,速度等于时,速度等于 ,外力为,外力为 。问从运动开始经。问从运动开始经 过了过了 后质点的速度是多少?后质点的速度是多少?你现在浏览的
8、是第十四页,共41页 一、定义一、定义 如果一阶微分方程可化成如果一阶微分方程可化成 的形的形 式,则称为式,则称为齐次方程齐次方程。二、分离变量二、分离变量(换元法换元法)设设问:问:是否为齐次方程?是否为齐次方程?则则代入齐次方程代入齐次方程你现在浏览的是第十五页,共41页分离变量分离变量,得得两边积分两边积分,得到得到u和和x的函数的函数,再将再将u换成换成 ,即得即得所给齐次方程的解所给齐次方程的解.例求解方程例求解方程例求解微分方程例求解微分方程例例3 求解微分方程求解微分方程你现在浏览的是第十六页,共41页例例4 探照灯的聚光镜是探照灯的聚光镜是一张旋转曲面,它的形一张旋转曲面,它
9、的形状由状由XOY坐标面上的一坐标面上的一条曲线条曲线L绕绕x轴旋转而成。轴旋转而成。按聚光镜性能的要求,按聚光镜性能的要求,在其旋转轴(在其旋转轴(X轴)上轴)上一点一点O处发出的处发出的一切光线,经它反射后一切光线,经它反射后都与旋转轴(都与旋转轴(X轴)平轴)平行。求曲线行。求曲线L的方程。的方程。P建立微分方程建立微分方程你现在浏览的是第十七页,共41页 ()()称为称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程。所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及未知所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及未知函数的导数都是一次的。函数的导数都是一次的。例如例如是一阶线性微分方程。是一阶线性微分方程。
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