第四节 重积分的应用精选文档.ppt
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1、第四节 重积分的应用本讲稿第一页,共三十五页几何应用和物理应用求平面区域面积求空间区域体积求曲面的面积求物体质量求物体质心求转动惯量求引力本讲稿第二页,共三十五页一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用1 1、平面区域面积:、平面区域面积:为D 的面积,则 解:解:本讲稿第三页,共三十五页解解:本讲稿第四页,共三十五页本讲稿第五页,共三十五页2、空间区域体积:空间区域体积:曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为:占有空间有界闭区域空间有界闭区域 的立体的体积为:本讲稿第六页,共三十五页例例3.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P148-例6)解解:设由对称性可知本讲稿第七页
2、,共三十五页例例4.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.(P163-例4)解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为本讲稿第八页,共三十五页(1)设曲面的方程为:设曲面的方程为:如图,如图,3 3、曲面的面积、曲面的面积:本讲稿第九页,共三十五页曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为:曲面面积公式为:本讲稿第十页,共三十五页(3)设曲面的方程为:设曲面的方程为:曲面面积公式为:曲面面积公式为:(2)设曲面的方程为:设曲面的方程为:曲面面积公式为:曲面面积公式为:同理可得同理可得本讲稿第十一页,共三十五页例例5.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面
3、积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2:利用直角坐标方程利用直角坐标方程.(方法方法1 )利用球坐标方程.见见P167-例例1本讲稿第十二页,共三十五页例例6.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积出的面积 A.见见P168-例例2本讲稿第十三页,共三十五页*二、重积分的物理应用二、重积分的物理应用1、平面薄片的质心、平面薄片的质心本讲稿第十四页,共三十五页当薄片是均匀的,质心称为当薄片是均匀的,质心称为形心形心.由元素法由元素法本讲稿第十五页,共三十五页解解本讲稿第十六页,共三十五页本讲稿第十七页,共三十五页2 2、平面薄片的转动
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