中国传统数学的式微.doc
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1、第四讲 中国传统数学(3) 朱世杰四元玉鉴可以说是宋元数学的绝唱。14世纪后期,中国传统数学骤转衰落。在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前,像天元术和四元术这样的宋元数学精粹,竟长期失传,无人通晓。中国传统数学自元末以后衰落的原因是多方面的。皇朝更迭的封建社会,在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性,数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后,科举考试制度中的“明算科”完全废除,唯以八股取士,数学社会地位低下,研究数学者没有出路,自由探讨受到束缚甚至蒙遭禁锢。同时,中国传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是对世界文明的一大贡献,但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号
2、代数,难以突破这种限制而演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘,而且对有五个以上未知量的方程组显得无能为力。另一方面,算法创造是数学进步的必要因素,但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。 4.5 中国传统数学的式微朱世杰以后(即十四世纪初以后),直到清朝中期,约近五个半世纪。在此期间,虽然我国已经有了资本主义萌芽,商业数学得到普及(特别是珠算),西方初等数学的传入,康熙皇帝对数学的重视,以及梅文鼎、年希尧、明安图、汪莱、李悦等数学家的工作,取得了一些成就,但是发展不快,尤其是和当时欧洲的数学相比更是远远地落后了。十八世纪中期列十九世纪中期,在复古思潮的
3、影响下以及其它一些原因,不少学者(如戴震等)致力发掘和整理古代数学著作,很少创新。我国的数学有明显的特点,主要是高深的理论研究几乎完全停止,而日常应用的算术和珠算得到普及,并形成口诀化。这与当时商业等的广泛社会需要有密切关系。4.5.1元末至明代的中国社会与文化从十四世纪初到十七世纪初的三百年里,我国的生产力有很大的提高,手工业、航海、海外贸易等远超前代。当时,冶金、陶瓷、纺织等方面的生产技术都领先于世界。榨油、制糖、制革、造纸、酿造等都很发达。明永乐三年到宣德八年(即公元1405一1433年)的二十八年中,明朝派郑和等率大型船队七次出使南洋、印度、阿拉伯和东非各国。这个船队中最大的船,长四十
4、四丈,宽十八丈。我国的许多子工业产品和土特产品大量远销东南亚和印度洋沿岸国家;同时外国商品也不断进入我国沿海各地和内地大城市。郑和下西洋的规模之大,时间之早,超过了世界上有名的哥伦布(14511506年)1492年横大西洋的航行。内河航运也很发达,当时仅浙江一带的江船就多达“以万亿计”。 明代在地理学、医药学、物理学、农业科学、化学等许多方面部有重要成就,出现了李时珍、周述学、宋应星、徐霞客、徐光启等科学家;完成了本草纲目、天工开物、农政全书等重要科学著作。从十六世纪中期到十八世纪中期,形成了我国科学发展的小高峰。4.5.2商业发展与珠算的产生由于商业的发展,相应的数学知识广泛地受到重视。元明
5、时代出版了不少数学书,内容虽然大都比较浅显,然而却适合商业的要求。其特点之一是口诀化。以前已经有了的数学口诀,在这个时期发展得特别快,如元末贾亨的算法全能集、何平子的详明算法等都是口诀化数学书的代表作。当的的一些数学书,商业味道很浓,如元代丁巨的丁巨算法(1355)中大部分算题与商业有密切关系。明代吴敬的九章算法比类大全和程大位的算法统宗也具有代表性。当时的一些商人对于数学特感兴趣,程大位本人就是商人。他“少游吴楚”,在长江中下游为商,晚年则从事数学研究。吴敬生活在当时商业发达的钱塘(今杭州市)。他的九章算法比类大全十卷,是花了十年的时间整理、研究,于1450年完成的。吴敬是他解决各种数学问题
6、,这些问题成为他数学研究的重要内容,很可能把其中的一部分收入了九章算法比类大全内。 九章算法比类大全中关于商业的算题很多,包括合伙经营、商品交换等等,如“今有罗、绢二十三匹匹法四丈,共卖钱一百六十八贯,只云罗四尺与绢九尺共价适等。又云绢一尺比云罗一尺少一百五十六贯,问罗、绢各多少尺,每尺各多少钱7”又如“今有铜四万六百五十斤,每斤价钱二贯八十文,问一共多少钱?”以乘法计算得8452贯。在卷第十的“今有唇底相登的四隅垛”问题中,提到“和酒”、“常酒”和小沥酒三种酒。酒的种类有了增加,而且数量很大。算法统宗更是典型。 九章算法比类大全中还有一种“写算”乘法是这以前我国数学书中从未见过的算法。它是先
7、画一些方格,格的多少根据数字位数的多少来确定,选择一个方向画上每个方格的一个对角线。计算时先将被乘数横写于方格顶上,乘数写于方格右侧。都是每一个方格外写一个数字。每两个数字乘得的结果按十位与个位填写于对应方格对角线之上下,再按对角线斜行相加,空位不写字。在算法统宗里也有类似的算法,程大位叫它“铺地锦”。这种算法,当时在欧洲、印度、阿拉伯、中亚等广大地区非常流行,因而有更多的机会传入我国。 九章算法比类大全成书后二十八年,即1478年,在意大利的特雷维沙(trevis)出版了第一本西方商业数学。其中许多算法、名称与九章算法比类大全非常相似。但是,两者可能没有因袭关系,而是各自独立写成的。这个事实
8、充分说明,中西资本主义前芽时期商业活动在数学中的反映是一致的。珠算是我国人民的一项有实用价值的发明创造,长期以来深受人们的欢迎,至今仍在使用。珠算是什么时候发明的?这个问题历来说法不一,其实它是古代筹算逐渐演变的结果,很难说出发明的确切时间和发明者。根据现有的资料来看,珠算大约发明于宋元时代。它所用的口诀,在宋元间已经具备,为珠算的使用和流传创造了先决条例。 元末陶宗仪在所作南村辍耕录卷二十九中有一条记载说:“凡纳婢仆,初来时曰擂盘珠,言不拨自动。稍久曰算盘殊,言拨之则动。既久曰佛顶珠,言终日凝然,虽拨亦不动。此虽俗谚,实切事情。”古代的筹算也有算盘,所用工具是算筹,不能称“珠”,也不能拨,因
9、此陶宗仅所说的“算盘珠”决不是筹算,而是珠算可见至迟在元代珠算已有某种程度的普及。明代的许多书中提到了珠算。其中最早是洪武四年(公元1371年)刊本魁本对相四盲杂字中明确讲到了算盘,里面还有一幅珠算的算盘图。魁本对相四言杂字是一本很强的看图识字性质的书,可见珠算在当时已很普及。 十五世纪中期在一本木工手册鲁班木经中已规定了制造珠算盘的具体规格:“算盘式:一尺二寸长,四寸二分大。框六分厚,九分大,起碗底。线上二子,一寸一分;线下五子,三寸一分。长短大小,看子而做。”这时珠算盘没有横梁,用一线相隔,上二子下五子,还带有早期的性质。这里把算盘珠叫做算盘子。1524年,王文素在算学宝鉴卷五中说:“众九
10、相乘,用子甚多,算盘子少,乘则不便,既乘已毕,只动一子居下,余仍如故”,也指珠算。当时已出现了打算盘能手,明代著名学者唐顺之(公元1507一1560年)就是代表。“唐顺之至庐州,适府有算粮事,唐子乃索善算者十余人,人各与一数,算讫记其概只数字,凡三四易,自拔盘珠,每一数字亦只记数字,不移时而一府钱粮数目清矣。老书、算,成精其神速”。这反映了珠算在会计方面的威力和唐顺之精于珠算的情况。 十六、十七世纪间有关珠算的书籍,有些已经失传,流传至今的有徐心鲁的盘珠算法(公元1573年)、柯尚迁的数学通轨(1578)、朱载堉的算学新说(1584)、程大位的算法统宗(1592)和黄龙吟的算法指南(1604)
11、等。这些书中所载的算盘图都已有了固定的横梁,比用线隔开的办法有所改进。 在上列诸书中,算法统宗流传最广,影响最大,出版以后翻印本、改编本均有多种,长时间内成为学习珠算的入门书。这部书共有十七卷,包括算盘图式、珠算口诀和用珠算解决问题。其中关于蝉联算法(珠算开方)是程大位首先提出来的。在书的最末附有一篇“算经源流”,记载了宋元以来刻本数学书五十一种。因其中大部分都已失传,所以这一附录便成了宝贵的数学史料。 明代珠算的大普及是明代商业贸易发展的结果。那时商业上的计算刁;需要高深的理论,而重复的四则计算则是大量的,珠算正适合于这种需要。因此,珠算的普及具有时代的特征。 另外,王文素、程大位还对纵横图
12、进行过研究,并且取得了一些成果。4.6 第一次西学东渐与中西数学合流珠算只是满足了社会上的一般要求,不能适应科学技术发展的更高需要。另外,当时围绕着天文历法和其它方面进行着激烈的斗气数学界也有不同观点的辩论。这一点和同时代西方的情况很相似。但也正是在这时,西方数学传到了我国。4.6.1十五、十六世纪的世界与中国围绕历法改革的斗争和数学中不同观点纳论述。明代在科学领域的斗争是很激烈的,首先表现在改历问题上。明初把元授时历稍加改编而成大统历,直到十六世纪已经二百多年,没有进行重大改革。授时历虽是一部好历法但因时间长了,误差越来越大。早在景泰元年(公元1450年)正月辛卯,卯正三刻月食,司天监误报为
13、“辰初韧刻”。成化十五年(公元n79年)十一月戊成望,“月认监推又误”本来是出于历法本身的不精确造成的,但“帝(成化里市)以天象微渺,不之罪也”。与此相反,主张改革历法的人却被囚荣,如成化十七年(公元1481年)真定教渝俞正己由于提出改革历法的建议,结果以所谓“轻率狂妄”之名被投入监狱。成化十九年,司天监天生张隧义提出改历的建议,司天监又以“祖制不可变”为由拒不采纳。之后,司天监所预报的日月食,一直是尽屡不准,但改历的倡议,均遭排斥。斗争也一直未停。 在数学方面,也存在着不同的观点,例如有关数学起源的问题,数学和社会实践关系的问题等都是人们非常关心的问题。明代数学家多数都在自己的著作中提到“隶
14、首作数”的说法,或是认为数学起源于“河图治书”。程大位在这方面很突出,他在所著算法统宗一书中,开头就说“河图洛书”是数学的“本原”,同时画了一幅“龙马负因”图。这些看法不仅没有根据,而且把数学起源问题神秘化了。 但是,也有坚持正确看法的学者,其令用述学可为代表者。他提出了符合唯物主义观点的“名数彻量”说,对于数学的起源、数学与实践的关系有比较明确的认识。他在神道大编历宗算会中写道:“夫物之小齐,物之情也。故其形体有长有短,有广有狭,有多有寡,有轻有重。是以立数名以御之;度之以弓尺,而长短广狭明;量之以斗倒,而多寡审;权之以斤秤,而轻重析。此度、量、权三法为数之纲也。”这就是说,数学起源于度、量
15、、权这三个方面的实际需要,它们是人们生产、生活上必需的三种基本数量关系。在周述学看来,物质有数量关系的属性,由于人的实际需要才“立法名数彻之”,于是产生了数学。对数学认识得如此正确的数学家,在当时是极少见的。 早期西方数学传入我国的经过。当时虽然珠算已经普及,在社会上起了极大的作用,但是数学理论研究则远不如宋元时代。然而有些问题的解决没有较高的数学水平是不行的,如历法改革就需要丰富的数学知识。正在这时,西方的初等数学传到我国,其中有的就是伴随着天文历法传入的。 十五、十六世纪期间,西方处于资产阶级革命的前夕。一些国家为了寻找贸易市场和原料基地,便派传教士到东方来。来我国的传教士巾,早期影响最大
16、的为利玛窦。 利玛窦(15521610),意大利人,德国著名数学家克拉维斯(15371612年)的学生。他于明万历十年(1582年)来到我国,带来一些西方的科学技术成果,如世界地图、自鸣钟、数学书籍等。 利玛窦之后,又有龙华民(15591654)、邓玉函(15761630年)、汤若望(15l666年)、罗雅谷(15931638)、熊三拔(15751620)、庞迪峨(1571一16l8年)等等,陆续来到我国。这些传教土大都精通天文学。 当时我国正处在历法需要改革的关键时期。万历三十八年(公元1610年)十一月朔日食,“历官推算多谬,朗议将修改”,第二年五月周子愚使趁机把庞迪峨、熊三拔等推荐给朝廷
17、,建议让他们参加历法改革。这事后来得到市民阶层出身的科学家徐光启(15621633)、李之藻(15651530)、李天经(1579一1659)等人的有力支持。他们抵制反对改历的各种意见,终于从祟祯二年(1629年)开始进行改历工作。在徐光启等人的主持下编译西方的天文历法和数学书。到崇损七年(公元1634年)共完成一百三十七卷,名为崇祯历书。入清以后,汤若里掌管钦天监,于顺治二年(公元1645年)将其修正改称西洋新法历。4.6.2利玛窦与徐光启等人的翻译工作徐光启是我国十六、十七世纪间著名的科学家。他早在改历之前就已与利玛窦合译欧几里得几何原本前六卷和测量全义等书;又自著测量异同、勾股义等书。他
18、对于明代数学理论发展的落后状态提出了自己的看法,认为这是由于“其一为名理之儒,土且天下之事实;其一为妖妄之术,谬言数有相理”所造成的。“名理之儒”和“妖妄之术”确实是阻碍数学发展的两个主要原因。徐光启一方面赞扬几何原本中逻辑推理的严谨性,并试图用这种思想解决我国古代数学的问题;另一方面又很注意数学在社会实践中的应用,特别提出了由数学推出的结论“不验不用”的主张,提出数学要受实践的检验,经过检验才能判明其真理性。这些看法都是正确的。他虽然在数学上很少创造性的成果,但是积极吸收西方的数学,对我国数学的发展也起了不小的作用。 在我国历史上,外国笔算曾几次传入我国,可是没有推广使用。利玛窦来我国时带来
19、一部笔算著作,是他的老师克拉维斯编的实用算术概论。他与李之藻参考算法统宗进行了编译,完成同文算指前编、同文算指通编和同文算指别编。这是我国第一部系统介绍欧洲笔算的数学书。它对我国影响很大。 前编二卷,讲述自然数、小数的算术四则运算。书的开头评论了古代的筹算和当时流行的珠算,然后指出:“兹以书代珠,始于一究于九,随其所得而书识之,满一十则不书十,书一于左,进位,乃作0于本位。一0曰一十。由十进百、由百进千、由千进万皆仿此。”这就是笔算进位方法,和现行的完全一致。 通编八卷,讲述用笔算解比例、盈不足、开方、级数、方程等问题。其中许多例题是编译时从其它数学书中选取而补进去的。比例问题,前编叫做“三率
20、准测法”相当于我国古代的“今有木”。 别编不分卷,只有“测量诸术”,内容很少。综观全书,数学内容都比较浅显,没有超出我国的水平。其中有些算法相当繁琐,如验算法是从土盘算法演变而来的,不适合于笔算,因此后来被淘汰。 与此同时还翻译了一部叫做欧罗巴西镜录的算术书。因为没有刊本,所以目前只有孤抄本保存在北京大学图书馆。 西方的几何知识虽然在元代曾传入我国,但是没有产生多大影响。明末时再次传入,如前已提到的欧几里得几何原本的翻译问题。原书十五卷,徐光启和利玛窦合译了前六卷。“几何”一词就是翻译时徐光启加上的(但不是“geometry的音译)。后来一直这样沿用。 这部书是用形式逻辑的方法把已有的(指古代
21、希腊)几何知识建立了最初的体系。在卷一之前结出了“界说三十六”、“求作四”和“公论十九”,相当于现在所说的定义、作图公法和公理,作为全书推理的基础。如按现代数学观点来看,其逻辑结构自然不够严谨,然而在两千多年前可以说是不错了。现将其中第十一公论(即公理)叙述如下:有二横直线或正或偏,任加一纵线,若三线之间同方两角小于两直角,则此二横直线愈长愈相近必至相遇。这是数学史上有名的“第五公设”,它与平行公理等价,现已由平行公理所代替。第五公设在初等几何中具有特殊的性质。所谓欧几里得体系实际就是指采用这条公设或与它等价的命题建立起来的几何系统(当然是要保留其它初等几何公理)。因此它是十分重要的。 徐光启
22、对几何原本的逻辑结构称赞不已,评价很高。他指出:“此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改。有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得。有三至三能:似至晦实至明,故能以其明明他物之至晦,似至密实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难实至易,故能以其易易他物之至难。易生于简,简生于明,综其妙在明而已。”这里所说的,虽不免有些夸大,但却反映出当时徐光启对于数学逻缉系统的认识。几何原本前六卷的内容包括三角形、圆、多边形、算术比例和线段比例及有关问题。很显然,所讨论的仪是平面几何的一部分,立体几何全无涉及。 这部书出版后不久,在我国又出现了几个简本,如几何体论、几何用法
23、 (1608)、几何要法(1631)等。前两书为孙元化(公元21632年)所作;后一书题“艾儒略(15821649年)口述,海虞瞿式耜笔受”,郑洪猷1631年序。在祟帧历书中也有一些几何学内容。其中讲几何最多的是测量全义,全书共十卷,第五、六两卷属于几何的内容不少。第五卷主要介绍古希腊科学家阿基米德、帕普士(pappus,公元4世纪人)等人的几何学研究成果,如割圆术、圆周率、圆面积、计算三角形面积的“海伦公式”、球面几何等等。第六卷还介绍了圆锥曲线,并有定义说:“截圆角体圆锥)法有五:从其轴平分直截之,所截两平面为三角形,一也。横截之,与底平行,截面为平圆形,二也。斜截之,与边乎行,截面为圭窦
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