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1、备课资料-九年级上期第22章 二次根式 教材内容 1本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式 2本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章反比例正函数、第十八章勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础 三维目标 1知识与技能 (1)理解二次根式的概念 (2)理解(a0)是一个非负数,()2=a(a0),=a(a0) (3)掌握(a0,b0),=;=(a0,b0),=(a0,b0) (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 2过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问
2、题,师生共同归纳,得出概念再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简 (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并运用规定进行计算 (3)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简 (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的 3情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、
3、发现问题的能力 教学重点 1二次根式(a0)的内涵(a0)是一个非负数;()2a(a0);=a(a0)及其运用 2二次根式乘除法的规定及其运用3最简二次根式的概念 4二次根式的加减运算 教学难点 1对(a0)是一个非负数的理解;对等式()2a(a0)及=a(a0)的理解及应用 2二次根式的乘法、除法的条件限制 3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 教学关键 1潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点 2培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 221 二次根
4、式 1课时 222 二次根式的乘除法 3课时 223 二次根式的加减法 3课时 小结与复习 1课时221 二次根式第一课时 教学内容 二次根式的概念、性质及其运用 三维目标1. 理解二次根式的概念,并能根据二次根式的概念,求出字母的取值范围2. 能够深刻理解二次根式的性质并能熟练应用3. 通过二次根式的学习,培养学生的探索能力,并学会使用分类讨论的思想方法 教学重难点关键 1重点:二次根式的概念及形如=(a0)的式子化简 2难点与关键:利用(a0)解决具体问题 教学过程 一、复习引入 (A组学生完成、B组学生点评)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=,那么它的图象在第一象
5、限横、纵坐标相等的点的坐标是_问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,C=90,那么AB边的长是_ 问题3:正方形的面积为 ,则边长为多少_。 B组学生点评:问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3因为点在第一象限,所以x=,所以所求点的坐标(,) 问题2:由勾股定理得AB=问题3:由面积的概念得S= 完成后,交流他们的共同特征:都含有“”的形式,被开放书都是非负数 二、探索新知探究1 表示什么意义很明显、,都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式因此,一般地,我们把形如(a0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号 (学生活动)议一议
6、: 1有算术平方根吗? 20的算术平方根是多少? 3当a0)、-、(x0,y0) 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0 解:二次根式有:、(x0)、-、(x0,y0);不是二次根式的有:、 例2当x是多少时,在实数范围内有意义? 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-10,才能有意义 解:由3x-10,得:x当x时,在实数范围内有意义探究2 等于什么?(学生活动)填空: =_;=_;=_; =_;=_;=_ (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到: =2;=0.01;=;=;=0;=因此,一般地:=a(a0)练习1
7、1. 化简(A组学生完成) (1) (2) (3) (4)2.填空:(B组学生完成)当a0时,=_;当aa,则a可以是什么数? 分析:=a(a0),要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“( )2”中的数是正数,因为,当a0时,=,那么-a0 (1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知=a,而a要大于a,只有什么时候才能保证呢?aa,即使aa所以a不存在;当aa,即使-aa,a0综上,a0探究3 于有何异同点?做一做:根据算术平方根的意义填空:()2=_;()2=_;()2=_;()2=_ 老师点评:是4的算术平方根,根据算术平
8、方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4同理可得:()2=2,()2=,()2=0,所以 ()2=a(a0)归纳:(师生共同归纳)相同点:结果都是非负数 不同点:(1)表示的意义不同:表示的算术平方根的平方;表示的平方的算术平方根。(2)字母的取值范围不同:中,;中,取全体实数。(3)两式的运算结果不同:当时,=;当时,=,无意义。 三、巩固练习 教材练习1、2 (A组学生完成) 四、应用拓展 (B组学生完成) 1.当x是多少时,+在实数范围内有意义? 2.(1)已知y=+5,求的值(答案:2)(2)若+=0,求a2008+b2008的值(答案:)五、归纳小结(学生活动,老师点评
9、)六、作业:习题22.1:1、2、3;4题由B组学生完成七、教学后记: 222 二次根式的乘除法第一课时 教学内容 (a0,b0),反之=(a0,b0)及其运用 三维目标 理解(a0,b0),=(a0,b0),并利用它们进行计算和化简 由具体数据,发现规律,导出(a0,b0)并运用它进行计算;利用逆向思维,得出=(a0,b0)并运用它进行解题和化简 教学重难点关键 重点:(a0,b0),=(a0,b0)及它们的运用 难点:发现规律,导出(a0,b0)关键:要讲清(a0,b、0),反过来=(a0,b0)及利用它们进行计算和化简 三维目标 理解=(a0,b0)和=(a0,b0)及利用它们进行运算
10、利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简 教学重难点关键 1重点:理解=(a0,b0),=(a0,b0)及利用它们进行计算和化简 2难点关键:发现规律,归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下列各题: 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空(A组学生完成、B组学生点评) (1)=_,=_; (2)=_,=_; (3)=_,=_; (4)=_,=_规律:_;_;_;_ 3利用计算器计算填空: (1)=_,(2)=_,(3)=_,(4)=_ 规律:_;_;_;_。 二、探索新知 一般地,对二次
11、根式的除法规定:=(a0,b0),反过来,=(a0,b0) 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例1计算:(1) (2) (3) (4) 分析:上面4小题利用=(a0,b0)便可直接得出答案解:(1)=2 (2)=2(3)=2(4)=2 例2化简: (1) (2) (3) (4) 分析:直接利用=(a0,b0)就可以达到化简之目的解:(1)= (2)= (3)= (4)= 三、巩固练习 教材练习1 四、应用拓展(由B组学生探索) 例3已知,且x为偶数,求(1+x)的值分析:式子=,只有a0,b0时才能成立因此得到9-x0且x-60,即6x9,又因为x为偶数,所以x=8 解:由题意得,即
12、60)和=(a0,b0)及其运用 六、布置作业 1习题222 :1(3)、(4) 2(4)、32补充作业设计(B组学生完成)七、教学后记: 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 三维目标 理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键 1重点:最简二次根式的运用 2难点关键:会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下列各题 1(A组学生完成)计算(1),(2),(3
13、) 老师点评:=,=,= 2(B组学生完成)现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h1km,h2km,那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点: 1被开方数不含分母; 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢?如果不是,把它们化成最简二次根式 学生分组讨论,推荐34个人到黑板上板书老师点评:不是=. 例1(1) ; (2) ; (3) 例2如图,在RtABC中,C=90,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的
14、长 解:因为AB2=AC2+BC2 所以AB=6.5(cm) 因此AB的长为6.5cm 三、巩固练习 教材练习2、3 四、应用拓展例3观察下列各式,通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:=-1,=-, 同理可得:=-, 从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 (+)(+1)的值 分析:由题意可知,本题所给的是一组分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以达到化简的目的 解:原式=(-1+-+-+-)(+1) =(-1)(+1) =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握:最简二次根式的概念及其运用 六、布置作业 1习题222 :2(5)、(6),42补充作业设计(B
15、组学生完成)七、教学后记: 22.3 二次根式的加减(1)第一课时 教学内容 二次根式的加减 三维目标 理解和掌握同类二次根式的概念及二次根式加减的方法 先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验,用它来指导根式的计算和化简 重难点关键 1重点:二次根式化简为最简根式 2难点关键:会判定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动:计算下列各式 (1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)x+2x+3y; (4)3a2-2a2+a3 教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变,系数相加减二、探索新
16、知分组自学例1试一试: (A组学生完成)计算下列各式(1)2-3 (2)4+3-5 (3)+2+3 (4)3-2+ (B组学生点评): (1)如果我们把当成x,不就转化为上面的问题吗? 2-3=(2-3)=- (2)把当成y; 4+3-5=(4+3-5)=2=2 (3)把当成z; +2+ =2+2+3=(1+2+3)=6 (4)看为x,看为y 3-2+ =(3-2)+ =+ 因此,我们把被开方数的相同二次根式叫做同类二次根式;且它们与整式的加减法类似是可以合并的。如2与表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?可以的 所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根
17、式进行合并 例2计算 (1) (2)+ (3) 分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并 解:略 补充例题:计算 (1)3-9+3 (2)(+)+(-) 解:(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15 (2)(+)+(-)=+- =4+2+2-=6+ 三、巩固练习 教材练习1、2 四、应用拓展 补充例题:已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值 分析:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-3)2=0,即x=,y=3其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式
18、,再合并同类二次根式,最后代入求值 解:略 五、归纳小结 本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 1习题223 1、2. 练习3题2补充作业设计(B组学生完成)七、教学后记: 22.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除;多项式与单项式相乘、相除;多项式与多项式相乘、相除;乘法公式的应用 三维目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键 重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律;
19、 难点关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题: 1计算(A组学生完成) (1)(2x+y)zx (2)(2x2y+3xy2)xy 2计算(B组学生完成) (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有(1)单项式单项式;(2)单项式多项式;(3)多项式单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有
20、一切,当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式 例1计算: (1)(+) (2)(4-3)2 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律 解:(1)(+)=+ =+=3+2 解:(4-3)2=42-32 =2- 例2计算 (1)(+6)(3-) (2)(+)(-) 分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解:(1)(+6)(3-) =3-()2+18-6 =13-3 (2)(+)(-)=()2-()2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习4 四、应用拓展例3已知=2-,其中a、b是实数,且a+b0,
21、化简+,并求值 分析:由于(+)(-)=1,因此对代数式的化简,可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值,代入化简得结果即可解:略 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1 习题223: 3、5.2补充作业设计(B组学生完成)七、教学后记: 22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题 三维目标 运用二次根式、化简解应用题 通过复习,将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,进行合并后解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点,又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课,我们已
22、经讲了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤:第一步,先将二次根式化成最简二次根式;第二步,再将被开方数相同的二次根式进行合并,下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例1如图所示的RtABC中,B=90,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问:几秒后PBQ的面积为35平方厘米?PQ的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示) 分析:设x秒后PBQ的面积为35平方厘米,那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积公式就可以求出x的值 解:设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x,BQ=2x 依题意,得:x2x=3
23、5 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 PQ=5 答:秒后PBQ的面积为35平方厘米,PQ的距离为5厘米 三、巩固练习 (A组学生完成、B组学生点评)要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精确到0.1m)?分析:此框架是由AB、BC、BD、AC组成,所以要求钢架的钢材,只需知道这四段的长度 解:由勾股定理,得 AB=2 BC= 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 32.24+713.7(m) 答:要焊接一个如图所示的钢架,大约需要13.7m的钢材 四、应用拓展 例3若最简根式与根式是同类二次根式,求a、b的值(同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式) 分析:同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同;事实上,根式不是最简二次根式,因此把化简成|b|,才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b 解:首先把根式化为最简二次根式: =|b| 由题意得 a=1,b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 1习题223 : 42补充作业设计(B组学生完成)七、教学后记: - 21 - 南江四中 徐芝佳
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