第3章边值问题的解法优秀PPT.ppt
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1、第3章边值问题的解法现在学习的是第1页,共65页3.1 边值问题的分类边值问题的分类*3.2 唯一性定理唯一性定理3.3 镜像法镜像法*3.4 分离变量法分离变量法*3.5 有限差分法有限差分法 解析法解析法数值法数值法现在学习的是第2页,共65页3.1 边值问题的提法边值问题的提法 边边值值问问题题:给给定定边边界界条条件件下下求求解解电电场场的的电电位位函函数数所所满满足足的方程。的方程。对对不不同同的的问问题题,边边界界条条件件有有不不同同的的给给定定方方式式,场场也也满满足足不不同的方程。同的方程。现在学习的是第3页,共65页3.1.1 边值问题的分类边值问题的分类(1)已知场域边界面
2、已知场域边界面S上各点电位的值,即上各点电位的值,即第一类边界条件或狄利克利条件第一类边界条件或狄利克利条件(2)已知场域边界面已知场域边界面S上各点电位法向导数的值,即上各点电位法向导数的值,即第二类边界条件或诺伊曼条件第二类边界条件或诺伊曼条件(3)已知场域边界面已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组上各点电位和电位法向导数的线性组 合值,即合值,即第三类边界条件或混合边界条件第三类边界条件或混合边界条件现在学习的是第4页,共65页 如果边界面如果边界面S S是导体,则三类问题变为:已知各导体表面的电是导体,则三类问题变为:已知各导体表面的电位;已知各导体的总电量;已知一部分导体
3、电位和另一部分导体的位;已知各导体的总电量;已知一部分导体电位和另一部分导体的总电量。总电量。如果场域延伸到无限远处,对于电荷分布在有限区域的情况,则如果场域延伸到无限远处,对于电荷分布在有限区域的情况,则无限远处的电位为有限值,即无限远处的电位为有限值,即自然边界条件自然边界条件现在学习的是第5页,共65页3.1.2 3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 在线性、各向同性、均匀的电介质中,有在线性、各向同性、均匀的电介质中,有(3-1-5)对电荷分布在导体表面的静电场问题,在导体内部体电荷分布为对电荷分布在导体表面的静电场问题,在导体内部体电荷分布为零,即零,即 ,故有,
4、故有(3-1-6)静电场的泊松方程静电场的泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程现在学习的是第6页,共65页已知场域边界上各点电位值边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合,即现在学习的是第7页,共65页3.2 3.2 唯一性定理(唯一性定理(Uniqueness Theorem)Uniqueness Theorem)在在静电场中,在每一类边界条件下,泊松方程或拉普拉静电
5、场中,在每一类边界条件下,泊松方程或拉普拉斯的解必定是唯一的。斯的解必定是唯一的。静电场的唯一性定理。静电场的唯一性定理。证明略证明略现在学习的是第8页,共65页 唯一性定理给出了拉普拉斯方程定解的充分必要条件,唯一性定理给出了拉普拉斯方程定解的充分必要条件,即即 镜像法和分离变量法就是唯一性定理的应用。镜像法和分离变量法就是唯一性定理的应用。边界条件边界条件边界条件边界条件定解定解现在学习的是第9页,共65页3.3 镜镜 像像 法法 实实际际的的工工程程问问题题:当当实实际际电电荷荷靠靠近近导导体体表表面面时时,由由于于导导体体表表面上会出现感应电荷,必然会对实际电荷的场产生影响。面上会出现
6、感应电荷,必然会对实际电荷的场产生影响。例例1:地球对架空传输线所产生电场的影响。:地球对架空传输线所产生电场的影响。例例2:发发射射或或接接收收天天线线的的场场分分布布会会因因支支撑撑它它们们的的金金属属导导电电体体的出现而显著改变。的出现而显著改变。结结论论:计计算算空空间间的的电电场场,不不仅仅要要考考虑虑原原电电荷荷的的电电场场,还还要要考考虑虑感感应应电电荷荷的的电电场场,这这就就必必须须知知道道表表面面电电荷荷的的分分布布。直直接接分分析这些问题既复杂又困难。析这些问题既复杂又困难。现在学习的是第10页,共65页 镜镜像像法法是是求求解解静静电电边边值值问问题题的的一一种种间间接接
7、方方法法,它它巧巧妙妙应应用用唯唯一一性性定定理理,使使某某些些看看来来难难解解的的边边值值问问题题易易于于解解决决。主主要要用用来来求解无限大导体附近的电荷(点电荷求解无限大导体附近的电荷(点电荷/线电荷)产生的场。线电荷)产生的场。镜像法镜像法:是暂时忽略边界的存在,在是暂时忽略边界的存在,在所求区域外所求区域外所求区域外所求区域外放置放置虚拟电荷虚拟电荷虚拟电荷虚拟电荷来代替来代替实际导体表面(等位面)实际导体表面(等位面)实际导体表面(等位面)实际导体表面(等位面)上复杂的电荷分布来进行计算。上复杂的电荷分布来进行计算。此虚拟电荷称为实际电荷的镜像(此虚拟电荷称为实际电荷的镜像(Ima
8、ge)Image)。镜像电荷的要求:根据唯一性定理,只要镜像电荷和实际电荷镜像电荷的要求:根据唯一性定理,只要镜像电荷和实际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件,又在所求的区域内满足拉一起产生的电位能满足给定的边界条件,又在所求的区域内满足拉普拉斯方程即可。普拉斯方程即可。现在学习的是第11页,共65页3.3.1 点电荷与平面边界平面镜像法点电荷与平面边界平面镜像法 求置于无限大导电平面上方d处的点电荷q的电位。分析:点电荷位于导体平面上时,导体上会产生感应电荷。感应电荷产生后,会影响上半空间电场分布,即影响电位。能否在导电平面下方放一个电荷能否在导电平面下方放一个电荷量为量为-q的点电荷来
9、代替导体平面上的的点电荷来代替导体平面上的感应电荷?感应电荷?另上半空间的电位既满足拉普拉斯方程,又满足边界条件:导体表面电位由所有电荷产生,其值为0;且在无穷远处,总电位趋于0。现在学习的是第12页,共65页 如果如果q为镜像电荷,则为镜像电荷,则空间任一点空间任一点P(x,y,z)的电位为的电位为现在学习的是第13页,共65页在在z z 00的上半平面的上半平面(除点电荷所在点除点电荷所在点),2 2=0=0;在;在z=z=0 0的平面上,的平面上,=0=0,2 2=0=0。当当z z、|x x|、|y y|时,时,00。验证解的正确性,关键是考察代替后得到验证解的正确性,关键是考察代替后
10、得到z0的空间电位能的空间电位能否拉普拉斯方程和边界条件。否拉普拉斯方程和边界条件。根据唯一性定理,式根据唯一性定理,式(3-1-1)必是所求问题的解。必是所求问题的解。现在学习的是第14页,共65页 用电位函数反求感应电荷量。用电位函数反求感应电荷量。导电平面上,有导电平面上,有导体表面的感应电荷密度为导体表面的感应电荷密度为 如果导电平面无限大,可以看作半径为无限大的圆,则无限如果导电平面无限大,可以看作半径为无限大的圆,则无限大导电平面的感应电荷为大导电平面的感应电荷为导体表面感应的总电荷正是预期值q。现在学习的是第15页,共65页 结论:结论:点电荷位于无限大导体平面上时,导体表面点电
11、荷位于无限大导体平面上时,导体表面总的感应电荷可以用位于对称位置,带等量异号总的感应电荷可以用位于对称位置,带等量异号电荷的镜像电荷来代替。电荷的镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内镜像电荷不能放在当前求解的场域内。现在学习的是第16页,共65页讨论:镜像电荷的讨论:镜像电荷的 数目?数目?1)当一个点电荷位于两平行导电平面的之间时,其镜像电荷数趋)当一个点电荷位于两平行导电平面的之间时,其镜像电荷数趋于无穷。于无穷。2)若平面的夹角为)若平面的夹角为,且,且3603600 0/为偶数为偶数,则可以用镜像法求解,则可以用镜像法求解,镜像电荷的个数为镜像电荷的个数为(3600/)-1
12、,再加上原电荷总共,再加上原电荷总共3600/个,镜像个,镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上,且大小相等、符号相反;若电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上,且大小相等、符号相反;若3600/不为偶数,则镜像电荷就会出现在所求区域,这将改变该区域不为偶数,则镜像电荷就会出现在所求区域,这将改变该区域内电位所满足的方程,不能用镜像法求解。内电位所满足的方程,不能用镜像法求解。现在学习的是第17页,共65页【例【例3-1】图】图3-2为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈,今有一电量为的直角劈,今有一电量为100nC的点电荷位于
13、点的点电荷位于点(3,4,0),求点,求点(3,5,0)处的电位和电场强度,其中各坐标单位为处的电位和电场强度,其中各坐标单位为m。(3,4,0)图图3-2 两垂直平面间的点电荷两垂直平面间的点电荷 解:两平面夹角为解:两平面夹角为900,则镜像电荷个数,则镜像电荷个数为为n=(3600/)-1=3,即为满足边界条件,即为满足边界条件,需要三个镜像电荷。其分布如下图。需要三个镜像电荷。其分布如下图。现在学习的是第18页,共65页(3,5,0)(-3,4,0)(-3,-4,0)(3,-4,0)保证x=0的平面电位为零保证y=0的平面电位为零则所求点则所求点(3,5,0)处的电位为处的电位为(3,
14、4,0)则则现在学习的是第19页,共65页3.3.2 点电荷与球面边界点电荷与球面边界 自自由由空空间间中中接接地地导导体体球球半半径径为为a,一一点点电电荷荷q位位于于距距球球心心d处处,如图如图 3-3所示,求球外任一点的电位。所示,求球外任一点的电位。如果仍用镜像法求解,即接地导体球如果仍用镜像法求解,即接地导体球上的感应电荷对点电荷的影响可以用置于上的感应电荷对点电荷的影响可以用置于导体球内部的镜像电荷来代替,那么导体球内部的镜像电荷来代替,那么镜像镜像电荷的大小和位置如何确定?电荷的大小和位置如何确定?图图3-3 接地导体球外的点电荷接地导体球外的点电荷现在学习的是第20页,共65页
15、待定:待定:1)大小大小 由于导电球面弯曲,故镜像电荷量不等于真实电荷由于导电球面弯曲,故镜像电荷量不等于真实电荷q,设镜像电荷为,设镜像电荷为q1=-mq;2)位置位置 应在球内,且位于上半球内的球心与实际电荷的连线上应在球内,且位于上半球内的球心与实际电荷的连线上(应应为感应电荷左右对称为感应电荷左右对称),设在距离原点,设在距离原点b处。处。则球外任一点的电位为原电荷和镜像电则球外任一点的电位为原电荷和镜像电荷共同产生荷共同产生式中式中现在学习的是第21页,共65页 电位函数在球表面处电位为零电位函数在球表面处电位为零(边界条件边界条件),即在,即在r=a处对处对任意角任意角度度,有,有
16、解此方程得:解此方程得:结论:结论:1)一般一般m1。当。当m=1时时,d=a,即,即仅仅当真当真实电实电荷位于球面上荷位于球面上时时,镜镜像像电电荷在数量上才和真荷在数量上才和真实电实电荷相等。荷相等。2)当当电电荷荷q远远离球体离球体时时,镜镜像像电电荷荷则趋则趋于球心。于球心。现在学习的是第22页,共65页 球体表面的电荷密度为球体表面的电荷密度为球体表面总的感应电荷量为:球体表面总的感应电荷量为:结论:结论:点电荷位于导体球面外时,导体表面总的感应电荷可以用点电荷位于导体球面外时,导体表面总的感应电荷可以用镜像电荷来代替。镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内镜像电荷不能放在
17、当前求解的场域内。现在学习的是第23页,共65页 讨论:讨论:1)当球不接地时,球面电位不为零,而球面上的净电荷为零当球不接地时,球面电位不为零,而球面上的净电荷为零(边界条边界条件件)。为满足此边界条件,需再加入一个镜像电荷。为满足此边界条件,需再加入一个镜像电荷q2=-q1,其位置在其位置在球心以保持球面仍为等位面。此时球外任一点的电位为球心以保持球面仍为等位面。此时球外任一点的电位为球的电位等于球的电位等于q2在球面上产生的电位,即在球面上产生的电位,即 2)如果点电荷位于球内时,确定镜像电荷和前面方法一样,镜像)如果点电荷位于球内时,确定镜像电荷和前面方法一样,镜像电荷位于球外。电荷位
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