瓜分天下-平分不规则图形.pdf
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1、瓜分天下平分不規則圖形摘要摘要有一次在慶祝媽媽的生日時,因為當天太飽而吃不完蛋糕,第二天早上想把昨日吃剩的蛋糕吃完,此時蛋糕成不規則四邊形,我們三個姐弟要公平地分蛋糕來吃,因為我們不會分,所以就把問題帶來學校討論,於是我和另一位同學便引起想討研究的的興趣,首先我們先探討正多邊形分三等份,而我們使用的方法有直接在圖形內作切割,且發現為正奇數邊形則利用面積求出所求的線段。後來我們繼續探討不規則分多等份,結果我們發現任何邊形都可一直切割到變成三邊形,便能直接切三角形,若切三角形的等分線在圖外,則嘗試另一邊作底,直到三角形的等分線在圖內為止。關鍵詞:等份、不規則、三角形1壹、研究動機:壹、研究動機:有
2、一次在吃完媽媽的生日蛋糕之後,第二天早上想把昨日吃剩的蛋糕吃完,此時蛋糕成不規則四邊形,我們三個姐弟要公平地分蛋糕來吃,因為我們不會分,所以就引起想研究的興趣。貳、研究目的:貳、研究目的:一、如何用最少的線段(二條),將正多邊形切成三等份。二、把不規則多邊形分成二等份。三、把多邊形分成 n 等份。參、研究器材:參、研究器材:電腦、筆、紙、GSP。肆、研究過程:肆、研究過程:一、正多邊形分三等份(一)正三邊形(如圖 1)1.先把 BC 分為三等份,得 D、E 二個等分點。2.連接 AD、AE,可得三個三角形(如圖 2)。3.因為ABD、ADE、AEC 同底等高,所以三個三角形面積相等。4.故 A
3、D、AE 即為所求的線段。2A圖 1(二)正四邊形(如圖 3)BDEC圖 2ABA F連起來。1.把 BC 分為三等份,得 E、F 點,並把2.把 CD 分成三等份,得G、H 點,並把AG 連起來(如圖 4)。3.因為 BF:FC2:1,所以ABF:AFC2:1。4.同理,ACG:AGD1:2,而ABF:AFCACG:AGDABF:四邊形 AFCG:AGD1:1:1。5.所以只要連 AF、AG,得ABF、四邊形AFCG、AGD,則這三個圖形面積相等。6.AF、AG 即為所求。ADHBCBEFGC圖 33圖 4(三)正五邊形(如圖 5)1.做 AFCD,且交 CD 於 F 點,連 AC 和 AD
4、,作出直角三角形(如圖 6)。AABEBECFDC圖 5D圖 62.ACDADC72,CAD36,做 CG 平分ACD,並交 AD 於 G,則1236,且 3472,則 AGC、GCD 為等腰三角形(如圖 7)。3.已知正五邊形的邊長 CD1 且 AGCGDC、ACAD,設ACx 由相似(ACDCGD),求得AC152(25)10-2 5,因商高定理,求得 AF。410-2 5BI,44.作 BIAC(如圖 8),再利用商高定理求出就可求出正五邊形的面積。4(3+25)10-2 58A1G32C4DA圖 8圖 7BICF5.已知正五邊形的面積且要分成三等份,算出一等份的面積,又因 A 為等分線
5、的起點,切成三等份時,其中一等份成4-5三角形且高恰為 AF,所以可求出底 KJ,使 CK3JD,就可分得三等份。6.AK、AJ 即為所求(如圖 9)。AFABBEECD圖 9CkJD圖 10(四)正六邊形(如圖 10)1.連接 AC、AE、CE、OA、OC、OE,得全等的平行四邊形 ABCO、OCDE、AOEF(如圖 11),且六個三角形全等。52.AC、CE、EA 為三個平行四邊形的對角線,所以ABC:四邊形 ACDE:AEF1:4:1。3.將 CD 二等份,令中點為 G 點。4.將 DE 二等份,令中點為 H 點。5.連 AG、AH,可得ACGAGD、ADHAHE(如圖 12)。6.四邊
6、形 ABCG:四邊形 AGDH:四邊形 AHEF1:1:17.AG、AH 為求。AFAFBOEBEHCDCGD圖 11(五)總結:圖 12因為以上的做法太亂且無特定的規則,則另外討論其他的方法。二、不規則多邊形分成二等份(一)三邊形(如圖 13)61.以 BC 為底,取 BC 中點 D,連 AD。2.ABD 和ACD 中,因為高和底都相同,所以ABDACD,AD 即為所求(如圖 14)。AAB圖 13CB圖 14C(二)四邊形(如圖 15)因為相鄰邊的大小關係會影響到分割的方法,所以要分別討論:1.最大的邊和第二大的邊相鄰(1)令 BC 和 AB 分別為第一大和第二大的邊,連接 AC,證明BC
7、DBAD(如圖 16)。AAD圖 16圖 15DC7C證明:A.連 AC,延長 AD、CD,在 DA 上一點 E,使 EAAD,在 DC 上取一點 F,使 CDCF(如圖 17)。B.連 EF,在 EF 上取一點 D,使 ADAD,CDCD(如圖 18)。C.B 點在AED內或AED三邊上時,AB 小於或等於 AE,與條件矛盾,所以不合。.B 點在ACD內或ACD三邊上時,AB 小於或等於 AD,與條件矛盾,所以不合。.B 點在CFD內或ACD三邊上時,CB 小於或等於CF,與條件矛盾,所以不合。.故 B 點必不在四邊形 AEFC 內和邊上。D.因為四邊形 ABCD 為凸四邊形,所以 B 點一
8、定在陰影區域。E.由 C、D 知ABC 中,AC 上的高必大於兩平行線 AC、EF 的距離,極大於ACD 中,AC 上的高,因為ABC中 AC 上的高大於ACD 中 AC 上的高,所以ABC 一定大於ACD。8EABEADCDF圖 17圖B18CF(2)四邊形 ABCD 中,連 AC 並延長,做 DFAC,交 AC於 F 點,過 D 點做直線 L 平行 AC 並交 BC 於 E 點,做EGAC 交 AC 於 G 點,ACD、ACE 中,底為 AC高分別為 DF、GE,又DFGE,所以ACDACE(如圖 19)。(3)四邊形 ABCDABCACDABCACEABE,取 BE 中點 H,即能平分A
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