五章节矩阵对角化及二次型.ppt
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1、五章节矩阵对角化及二次型 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法定义:设有 n 维向量令则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积向量的内积x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数):l对称性:x,y=y,xx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数):l
2、对称性:x,y=y,xl线性性质:l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数):l对称性:x,y=y,xl线性性质:l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z l当 x=0(零向量)时,x,x=0;当 x 0(零向量)时,x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数):l对称性:x,y=y,xl线性性质:l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z
3、 l当 x=0(零向量)时,x,x=0;当 x 0(零向量)时,x,x 0l施瓦兹(Schwarz)不等式x,y2 x,x y,y回顾:线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令若令 x=(x1,x2)T,则,则若令若令 x=(x1,x2,x3)T,则,则x,x=x12+x22+xn2 0 向量的长度定义:令称|x|为 n 维向量 x 的长度(或范数)当|x|=1时,称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质:w非负性:当 x=0(零向量)时,|x|=0;当 x0(零向量)时,|x|0w齐次性:|l x|=|l|x|向量的长度定义:令称|x|为 n 维向量 x 的长度(或范数)当|
4、x|=1时,称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质:w非负性:当 x=0(零向量)时,|x|=0;当 x 0(零向量)时,|x|0w齐次性:|l x|=|l|x|w三角不等式:|x+y|x|+|y|xyx+yy向量的正交性施瓦兹(Schwarz)不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当 x 0 且 y 0 时,定义:当 x 0 且 y 0 时,把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x,y=0,称向量 x 和 y 正交结论:若 x=0,则 x 与任何向量都正交xy定义:定义:两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理:定理:若若 n 维
5、向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量,是一组两两正交的非零向量,则则 a1,a2,ar 线性无关线性无关证明:证明:设设 k1a1+k2a2+kr ar=0(零向量)(零向量),那么,那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar =k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证,同理可证,k2=k3=kr=0综上所述,综上所述,a1,a2,ar 线性无关线性无关例:例:已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交,试求一个非零向量正交,试求一个非零向量a3,使,使a1,a
6、2,a3 两两正交两两正交分析:分析:显然显然a1a2 解:解:设设a3=(x1,x2,x3)T,若,若a1a3,a2a3,则,则 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=0得得从而有基础解系从而有基础解系 ,令,令 定义:定义:n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量,中的向量,满足满足e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基(最大无关组);中的一个基(最大无关组);e1,e2,er 两两正交;两两正交;e1,e2,er 都是单位向量,都是单位向量,则称则称 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规
7、范正交基规范正交基例:例:是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基,但不是规范正交基的一个基,但不是规范正交基设设 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基,则,则V 中任意中任意一一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x=l l1e1+l l2e2+l lrer于是于是特别地,若特别地,若 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基,则,则问题:问题:向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基
8、e1,e2,er求规范正交基的方法第一步:正交化施密特(Schimidt)正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基,那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基第一步:正交化施密特(Schimidt)正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基,那么令于是 b1,b2,br 两两正交,并且与a1,a2,ar 等价,即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地,b1,bk 与a1,ak 等价(1 k r)第二步:单位化第二步:单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基
9、,那么令,那么令因为因为从而从而 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基例:例:设设 ,试用施密特正交化,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解:解:第一步正交化,取第一步正交化,取例:例:设设 ,试用施密特正交化,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解:解:第二步单位化,令第二步单位化,令例:例:已知已知 ,试求非零向量,试求非零向量a2,a3,使,使a1,a2,a3 两两正交两两正交.解:解:若若a1a2,a1a3,则,则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a
10、3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求(以保证(以保证 a2a3 成立)成立)定义:定义:如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E,则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵,简称,简称正交阵正交阵 即即 A1=AT,于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量,且两两正交量,且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 定义:定义:如果如果 n 阶
11、矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E,即即 A1=AT,则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵,简称,简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量,且两两正交即量,且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.因为因为ATA=E 与与AAT=E 等价,所以等价,所以定义:定义:如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E,即即 A1=AT,则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵,简称,简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列
12、向量列向量都是单位向都是单位向量,且两两正交即量,且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量,且两两正交量,且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.例:例:正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基正交矩阵具有下列性质:正交矩阵具有下列性质:若若 A 是正交阵,则是正交阵,则 A1 也是正交阵,且也是正交阵,且|A|=1 或或1若若 A 和和B是正交阵,则是正交阵,则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵
13、定义:定义:若若 P 是正交阵,则线性变换是正交阵,则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换,线段的长度保持不变(从而三角形的形状保经过正交变换,线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变),这就是正交变换的优良特性持不变),这就是正交变换的优良特性2 特征值与特征向量特征值与特征向量引言w纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律,即(lEn)An=An(lEn)=lAn w矩阵乘法一般不满足交换律,即AB BA w数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的,即l(AB)=(lA)B=A(lB)wAx=l x?例:一、基本概念定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果数 l 和 n 维非
14、零向量 x 满足Ax=l x,那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例:则 l=1 为 的特征值,为对应于l=1 的特征向量.一、基本概念定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x,那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0(零向量)齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0特特征征方方程程特特征征多多项项式式w特征方程|AlE|=0w特征多项式|AlE|二、基本性质w在复数范围内 n
15、阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算)w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln,则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|例:例:求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解:解:A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2,l l2=4 当当 l l1=2 时,时,对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ,即,即解得基础解系解得基础解系 k p1(k 0)就是对应的特征向量就是对应的特征向量例:例:求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解:解:A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的
16、特征值为的特征值为 l l1=2,l l2=4 当当 l l2=4 时,时,对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ,即,即解得基础解系解得基础解系 k p2(k 0)就是对应的特征向量就是对应的特征向量例:例:求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解:解:所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1,l l2=l l3=2 例:例:求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解(续):解(续):当当 l l1=1 时,因为时,因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 k p1(k 0)就是对应的特征向量就是对应的特征向量例:例:求矩阵求矩阵 的特征
17、值和特征向量的特征值和特征向量解(续):解(续):当当 l l2=l l3=2 时,因为时,因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3 p3(k2,k3 不同时为零)不同时为零)就是对应的特征向量就是对应的特征向量二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算)w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln,则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|w若 l 是 A 的一个特征值,则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例:例:设设 l l 是方阵是方阵 A 的特
18、征值,证明的特征值,证明(1)l l2 是是 A2 的特征值;的特征值;(2)当当 A 可逆时,可逆时,1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论:结论:若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量,则的特征向量,则pl l2 是是 A2 的特征值,的特征值,对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值,的特征值,对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时,可逆时,1/l l 是是 A1 的特征值,的特征值,对应的特征向量仍然是对应的特征向量仍然是 p 二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征
19、值(重根按重数计算)w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln,则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|w若 l 是 A 的一个特征值,则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组w若 l 是 A 的一个特征值,则 j(l)=a0+a1 l+am l m是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am A m 的特征值例:例:设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2,求,求A*+3A2E 的特征值的特征值解:解:A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设
20、设 l l 是是 A 的一个特征值,的一个特征值,p 是是对应的特征向量对应的特征向量令令则则定理:定理:设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值,的特征值,p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量,如果次是与之对应的特征向量,如果l l1,l l2,l lm 各不相同,则各不相同,则p1,p2,pm 线性无关线性无关例:例:设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2,证明证明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量3 相似矩阵相似矩阵定义:设 A,B 都是
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