《定积分的习题》word版.doc
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1、第五章 定积分复习要点一、基本概念1.定积分的定义:运算法则:,.O主要性质: 函数在闭区间上连续,则在区间上至少O存在一点,使得 (称其为积分中值定理)2.积分上限函数及其性质 ,被称为可变上限积分或积分上限函数;性质:若函数在闭区间上连续,则(1)在上连续;(2)在上可导;(3)3.牛顿-莱布尼茨公式函数在闭区间上连续,是在区间上的一个原函数,则.4.反常积分的定义O函数在区间()上连续,是在区间上的一个原函数,则(1);(2);(3)。O函数在区间()上连续,是在区间上的一个原函数,则(1);(2);(3)=(4)【其中,都是瑕点】,这四种积分均称为瑕积分。二、计算方法介绍1.定积分计算
2、方法(按求积分入手的先后顺序排列)(1)首先要分清是正常积分还是反常积分(瑕积分),是正常积分,转入下面的(2);是反常积直接转入下面的(8).(2)对正常积分,若积分区间是对称区间,就要判定被积函数是否为奇函数或偶函数,以便简化计算的工作量.当为偶函数,则;当为奇函数,则.(3)无论是正常积分还是反常积分,都要用牛顿-莱布尼茨公式求积分,最关键的还是要求出一个原函数;(4)若直接用不定积分的公式求得原函数,不换元也不换限,用牛顿-莱布尼茨公式可得结果;(5)若用凑微分法求得原函数,若不换元,必不换限,直接用牛顿-莱布尼茨公式可得结果;(6)若用分部积分公式,不换元也不换限,直接用牛顿-莱布尼
3、茨公式可得结果;(7)上述方法都失效,必用变量替换公式,则换元必换限,再用牛顿-莱布尼茨公式可得结果.(8)是在区间=(或或)上的一个原函数,则(1);(2);(3)。函数在区间()上连续,是在区间上的一个原函数,则(1);(2);(3)=;(4).【其中,都是瑕点】。2.函数求导数与求极限方法(1)用公式(P160)求导数;(2)根据上述求导公式,利用洛必达法则求极限。3.有关的证明题往往利用积分中值定理及其它已经学过的定理进行证明。O4.求平面图形面积的方法(微元法)(1)用定积分的几何意义(即曲边梯形的面积,如图),求平面图形ABCD的面积;OABCD的面积=(2)用微元法求平面图形的面
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