无穷级数习题课资料-丁金扣.doc
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1、第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣一、 本章主要内容常数项级数的概念与基本性质,正项级数审敛法,交错级数与莱布尼兹审敛法,绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质(逐项求导、逐项积分、和函数的连续性),泰勒级数,函数展开为幂级数及幂级数求和函数,周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。二、 本章重点用定义判别级数的收敛,P-级数、正项级数的审敛法,莱布尼兹型级数的审敛法,幂级数的收敛域与收敛半径,幂级数求和函数,函数的泰勒级数,傅立叶级数收敛定理。三、 本章难点 用定义判别级数的收敛,P-级数审敛法,幂级数求和函数,函数的泰勒级数,傅立叶级数收敛定理。四、 例题选讲例1:判别级数的敛散性。(用定义)
2、 解:原式=级数的部分和, 所以原级数收敛,且收敛于。例2:证明级数收敛。(利用柯西审敛原理)证明:得,对任意的,取,则当时,对所有,都有,故原级数收敛。例3:判别下列级数的敛散性(1) , (2) , (3)(4) ,(5),()(6)解:(1)因为,所以,而 , 有 ,由比较审敛法知,级数收敛。(2)因为 ,又收敛,所以原级数收敛。(3)用根值法 ,所以原级数收敛。(4)所以 有比较法知,原级数收敛。(5)比值法:,当时,级数收敛,当时,级数收敛,当时,级数收敛。所以,当时,级数收敛。(6),所以原级数收敛。例4:判断级数的敛散性。解:,又,知级数发散,从而发散,即级数非绝对收敛。因为,且
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