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1、4.3 4.3 函数的极值函数的极值定义定义4.14.1设函数在点的某设函数在点的某个领域内有定义个领域内有定义.(1)(1)如果对于该领域内任意的如果对于该领域内任意的总有,则称为函数的总有,则称为函数的极大值,并且称点是的极大值点极大值,并且称点是的极大值点.总有总有 ,则称,则称 为函数为函数的极小值,并且称点是的极小值,并且称点是 的极小值点的极小值点.(2)(2)如果对于该领域内任意的如果对于该领域内任意的函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值,极大值与极小值值点统称为,极大值与极小值值点统称为极值点极值点.定理定理4.7(4.7(极值存在的必要条件
2、极值存在的必要条件)如果如果在点处取得极值且在点处可导在点处取得极值且在点处可导,则则 .说明说明 (1)(1)只是只是 在点处取在点处取极值的必要条件,而不是充分条件极值的必要条件,而不是充分条件.事实上,事实上,函数函数 在在 时,导数等于零,但在该点时,导数等于零,但在该点并不取得极值。并不取得极值。通常把使得通常把使得 的点的点 称为称为驻点驻点.驻点可能是函数的极值点,也可能不极值点驻点可能是函数的极值点,也可能不极值点 (2)(2)定理的条件之一是函数在定理的条件之一是函数在 点可导,点可导,而导数不存在的点也有可能取得极值。而导数不存在的点也有可能取得极值。例如,在不可导,但例如
3、,在不可导,但却取得极小值,却取得极小值,(1)(1)由正变负,则是极大值点;由正变负,则是极大值点;(2)(2)由负变正,则是极小值点;由负变正,则是极小值点;(3)(3)不改变符号,则不是极值点不改变符号,则不是极值点.定理定理4.84.8(极值判别法极值判别法)设函数设函数在点的邻域内连续且可导在点的邻域内连续且可导(允许不允许不存在存在),当由小增大经过点时,若,当由小增大经过点时,若找出在定义域内两类点,即找出使找出在定义域内两类点,即找出使 的点及所有导数不存在的点;的点及所有导数不存在的点;确定函数确定函数 的定义域,求出导数的定义域,求出导数 ;用两类点将定义域分成若干个部分区
4、间,用两类点将定义域分成若干个部分区间,并确定并确定 在每一个部分区间上的符号;在每一个部分区间上的符号;由定理,确定由定理,确定 在两类点处是否有极在两类点处是否有极值,是极大值还是极小值。值,是极大值还是极小值。求函数极值的步骤:求函数极值的步骤:例例1 1求函数的极值求函数的极值解解,令,解得,令,解得,.得得到三个驻点,没有导数不存在的点到三个驻点,没有导数不存在的点.无极值无极值极大值极大值极小值极小值由表可见函数的极大值为,由表可见函数的极大值为,极小值为极小值为例例2 2求函数的极值求函数的极值解解,当时,不存在当时,不存在令,解得令,解得 .极大值极大值极小值极小值函数极大值为
5、,极小值为函数极大值为,极小值为练习一练习一求下列函数的极值求下列函数的极值(1)(1)若,则函数在点处若,则函数在点处取得极大值;取得极大值;(2)(2)若,则函数在点若,则函数在点 处处取得极小值;取得极小值;(3)(3)若,则不能判断是否若,则不能判断是否是极值是极值.定理定理4.9(4.9(极值判别法极值判别法)设函数在设函数在点点 处有二阶导数,且,处有二阶导数,且,存在,存在,因此,当时,第二判别法失效,因此,当时,第二判别法失效,只能用第一判别法判断只能用第一判别法判断.对于的情形:可能是极大值,对于的情形:可能是极大值,可能是极小值,也可能不是极值可能是极小值,也可能不是极值例
6、如例如 ,是极大值;,是极大值;,是极小值;,是极小值;,但不是极值,但不是极值例例3 3求函数求函数 的极值的极值解解,令,解得,令,解得,.,所以是极大值,所以是极大值点点.的极大值为的极大值为.,所以是极小值点,所以是极小值点.的极小值为的极小值为.练习二练习二求函数求函数 的极值的极值对于一个闭区间上的连续函数对于一个闭区间上的连续函数,它的它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得最大值、最小值只能在极值点或端点上取得因此因此,只要求出函数的所有极值和端点值,只要求出函数的所有极值和端点值,它们之中最大的就是最大值,最小的就是最小它们之中最大的就是最大值,最小的就是最小值值.如果函数
7、在闭区间如果函数在闭区间a,ba,b上连续,则上连续,则 在在a,ba,b必能取得最大值和最小值必能取得最大值和最小值.函数函数的最大值与最小值统称为函数的最值。的最大值与最小值统称为函数的最值。求出在内的所有驻点和一阶求出在内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点,并计算各点的函数值导数不存在的连续点,并计算各点的函数值.求出端点的函数值和求出端点的函数值和.求最大值和最小值的方法如下:求最大值和最小值的方法如下:比较前面求出的所有函数值,其中最比较前面求出的所有函数值,其中最大的就是在上的最大值大的就是在上的最大值,最小的最小的就是在上的最小值就是在上的最小值.例例4 4求函数求函数在上的最大
8、值与最小值在上的最大值与最小值.令,解得令,解得 ,解解计算出,计算出,再算出,再算出,比较这五个函数值,得出在比较这五个函数值,得出在上的最大值为,最小值为上的最大值为,最小值为.比较这五个函数值,得出在比较这五个函数值,得出在 上上的最大值为的最大值为 ,最小值为,最小值为.解解,令,解得,令,解得,计算出,计算出,再算出,再算出,例例5 5求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最大值与最小值.例例6 6求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最大值与最小值.令,解得,令,解得,计算出,计算出,再计算出,再计算出,解解,比较以上三个函数值得出比较以上三个函数值得出 在在 上的最大值为上的最大
9、值为 ,最小值为,最小值为 .事实上,有,故是单事实上,有,故是单调增加的,单调函数的最大值和最小值都发调增加的,单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处生在区间的端点处.练习三练习三 求函数,在闭区间求函数,在闭区间0,40,4上的最上的最大值和最小值大值和最小值.特别值得指出的是:特别值得指出的是:在一个区间在一个区间(有有限或无界,开或闭限或无界,开或闭)内可导且只有一个驻点内可导且只有一个驻点,并且这个驻点是的唯一极值点,那,并且这个驻点是的唯一极值点,那么,当是极大值时,就是在该么,当是极大值时,就是在该区间上的最大值;当是极小值时,区间上的最大值;当是极小值时,就是在该区间上的
10、最小值在应用问题就是在该区间上的最小值在应用问题中往往遇到这样的情形这时可以当作极值中往往遇到这样的情形这时可以当作极值问题来解决,不必与区间的端点值相比较问题来解决,不必与区间的端点值相比较解解设窗框的宽为设窗框的宽为 ,则长为,则长为 .例例7 7欲用长的铝合金料加工一日字欲用长的铝合金料加工一日字形窗框,问它的长和宽分别为多少时,才能使形窗框,问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?窗户面积最大,最大面积是多少?于是窗户的面积于是窗户的面积令,求得驻点,令,求得驻点,因为,所以是极大值点因为,所以是极大值点.由于在区间由于在区间(0(0,2)2)内有唯一的极大值,则
11、内有唯一的极大值,则这个极大值就是最大值这个极大值就是最大值.于是得到,窗户的宽为,长为于是得到,窗户的宽为,长为时,窗户的面积最大,最大面积为时,窗户的面积最大,最大面积为例例8 8某厂生产某种产品,其固定成本为某厂生产某种产品,其固定成本为3 3万元,每生产一百件产品,成本增加万元,每生产一百件产品,成本增加2 2万元万元其总收入其总收入(单位:万元单位:万元)是产量是产量(单单位:百件位:百件)的函数的函数.,求达到最大利润时的产量求达到最大利润时的产量解解利润函数为利润函数为,令,得令,得 (百件百件).).,所以当时,函数取,所以当时,函数取得极大值,因为是唯一的极值点,所以就是最得
12、极大值,因为是唯一的极值点,所以就是最大值点大值点.即产量为即产量为300300件时取得最大利润件时取得最大利润.例例9 9 已知某个企业的成本函数为已知某个企业的成本函数为,其中成本其中成本(单元:千元单元:千元),产量,产量(单位:吨单位:吨),求平均可变成本,求平均可变成本(单位:千单位:千元元)的最小值的最小值 解解平均可变成本平均可变成本,令,得令,得(吨吨).).(千元千元).).即产量为即产量为4.54.5吨时,平均可变成本取得最吨时,平均可变成本取得最小值小值97509750元元.,所以时,取得,所以时,取得极小值,由于是唯一的极值,所以就是最小极小值,由于是唯一的极值,所以就
13、是最小值值1.1.某农厂要用围墙围成面积为某农厂要用围墙围成面积为 的一块的一块矩形土地,并在正中用一堵墙将它隔成两块,矩形土地,并在正中用一堵墙将它隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大的尺寸,才能使问这块土地的长和宽选取多大的尺寸,才能使所用的建筑材料最省?所用的建筑材料最省?练习四练习四 解解设土地的长为设土地的长为 ,则宽为,则宽为 因此围墙和隔墙的总长度因此围墙和隔墙的总长度 为为又因为又因为所以是唯一极值点,所以是唯一极值点,因而也是最小值点因而也是最小值点.因此,当这块土地的长为因此,当这块土地的长为1818米,宽为米时,米,宽为米时,围墙和隔墙的总长度最短,所用建筑材料最省围墙和隔墙的总长度最短,所用建筑材料最省.2 2.某工厂生产电视机,固定成本为某工厂生产电视机,固定成本为 元,元,每生产一台电视机,成本增加每生产一台电视机,成本增加 元,已知总收元,已知总收益益 是年产量是年产量 的函数的函数问每年生产多少台电视机时,总利润最大?此问每年生产多少台电视机时,总利润最大?此时总利润是多少?时总利润是多少?3 3.设成本函数设成本函数 ,问,问产量等于多少时平均成本达到最小?产量等于多少时平均成本达到最小?解解由于平均成本为由于平均成本为
限制150内