8.5空间向量和应用、空间角带详细答案内容.doc
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1、8.5 空间向量及其应用、空间角五年高考A 组 统一命题.课标卷题组1. 直三棱柱 中, , , 分别是 , 的中点, ,则 与 所成角的余弦值为( )。A: B: C: D: 答案详解 C 正确率: 73%, 易错项: B 解析:本题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系,设 ,则有 , , , ,所以 , ,则, ,所以。故本题正确答案为 C。易错项分析:空间中异面直线夹角的解法,用空间向量法解题相对简单,本题易错点是正确建立空间直角坐标系,求出两条直线的方向向量,最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2. (12 分)如图,在四棱锥 中, ,且。(1)证明:
2、平面 平面 ;(2)若 , ,求二面角 的余弦值。答案详解(1)因为 ,所以 , ,又因,所以 ,又因 ,所以 平面 ,又因平面 ,所以平面 平面 。(2)因为 ,且 ,所以四边形 为平行四边形。取 ,分别为 , 中点,连接 , ,则 。由(1)知 平面 ,所以 , ,所以 , ,又因, ,所以 为等腰直角三角形,所以 。如图,以 为原点建立空间直角坐标系,不妨令 ,则, , , , ,则, , ,设平面 的一个法向量为 ,则有 ,设平面 的一个法向量为 ,则有 ,所以,显然二面角 为钝二面角,所以其余弦值为 。解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。(1)根据 , ,先证 平面 ,再证平
3、面平面 即可。(2)根据已知可证 , , ,然后建立空间直角坐标系,再设各点坐标,代入公式计算即可。注意所求二面角 为钝二面角,所以其余弦值为 。3. (12 分)如图,四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 , , , 是 的中点。(1)证明:直线 平面 ;(2)点 在棱 上,且直线 与底面所成角为 ,求二面角 的余弦值。答案(1)证明:作点 为 的中点,连接 , 。如图所示,因为 是 的中点,所以 是 的中位线,即 ,且 ,因为 , ,所以 ,且 ,所以 ,且 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,又因为 平面 , 平面 ,所以直线 平面 。(2)如图所示,取 中点 ,连接 , ,由于
4、为正三角形 ,所以 ,因为侧面 为等边三角形且垂直于底面 ,平面平面 ,所以 平面 ,所以可以作以 为原点,以为 轴,以 为 轴,以 为 轴的空间直角坐标系 。不妨设,则 。又因为 为直角三角形,所以 。作 ,垂足为 ,所以 平面。设 ,则 , 。易知 即为直线 与底面 所成角为 ,所以 ,解得 。因此有, 。所以 , , ,则 , , 。设平面 的法向量为 ,所以,即 ,可取 ,同样可取平面 的法向量 ,所以 。因为二面角 是锐角,所以二面角 的余弦值为 。解析本题主要考查空间几何体,直线、平面的位置关系和空间向量的应用。(1)作点 为 的中点,连接 , ,利用题目条件证四边形 为平行四边形
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