《函数的极值问题》PPT课件.ppt
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1、第二章第二章 静态优化静态优化函数的极值问题函数的极值问题本章主要内容本章主要内容:v2.1 无约束条件的函数极值问题无约束条件的函数极值问题v2.2 有约束条件的函数极值问题有约束条件的函数极值问题v2.3 小结小结v2.4 习题习题2.1 无约束条件的函数极值问题无约束条件的函数极值问题v一元函数极值问题一元函数极值问题v二元函数极值问题二元函数极值问题v多元函数极值问题多元函数极值问题一元函数的极值问题一元函数的极值问题 一元函数 在 处取极值的必要条件为 (2-1)当 (2-2)为极小。当 (2-3)为极大。为简单起见,今后我们将只讨论极小,式(2-1)和(2-2)一起构成 为极小值的
2、充分条件。当 时,也可能有极小值,不过要检验高阶导数。上述情况可用图2-1来表示。R点是局部极小点,又是总体极小点,U只是局部极小点,T 是局部极大点,S是拐点,不是极值点。图2-1 函数的极值点和拐点 例 2-1 求使 最小的x。解:故解使达到极小。本例是著名的最小二乘问题。二元函数极值问题二元函数极值问题 下面考虑二元函数 的极值问题。设 在 处取得极小值,记 ,这里 (T表示转置,X是列向量)。在 处取得极小值的必要条件和充分条件可如下求得。将 在 周围展开为泰勒级数 (2-4)式中 表示高阶无穷小。将(2-4)式用向量矩阵形式表示 (2-5)式中,(2-6)由(2-5)式可知,取极值的
3、必要条件为 (2-7)进一步,若 (2-8)则这个极值为极小值。由于 是任意的不为零的向量,要使(2-8)式成立,由矩阵理论可知,二阶导数矩阵(又称为Hessian阵)必须是正定的。正定阵形式上可表示为 (2-9)(2-7)和(2-9)一起构成了 在 处取极小值的充分条件。多元函数极值问题多元函数极值问题 设n个变量的多元函数为 式中 则 在 处有极小值的必要条 件为一阶导数向量等于零向量,即进一步,若二阶导数矩阵是正定阵,即 (2-11)则这个极值是极小。式(2-10)和(2-11)一起构成了多元函数 在 处取极小值的充分条件。由(2-11)式可知,是实对称矩阵。判别实对称矩阵是否为正定有两
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