(完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座:第二十讲飞跃-从全等到相似.pdf
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1、第1页(共 9页)兰州第十中学数学组2013 年最新八年级数学竞赛讲座第二十讲飞跃-从全等到相似全等三角形是相似三角形的相似比等于1 的特殊情况,从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃,不但认识形式上有质的变化而且思维方式也产生突变,相等是全等三角形的主旋律,在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂,不仅有比例式,还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等通过寻找(或构造)相似三角形,用以计算或论证的方法,我们称为相似三角形法,在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用,是几何学中应用最广泛的方法之一熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三
2、角形例题求解【例 1】如图,ABC中,ABC=60,点P是 ABC内一点,使得APB=BPC=CPA,且 PA=8,PC=6,则 PB=(全国初中数学竞赛题)思路点拨 PA、PB、PC分别是 ABP、BCP的边,从判定这两个三角形的关系入手注相似是几何中的一个概念,但相似性不仅表现在事物的几何形态上,而且还体现在事物的功能、结构、原理上类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中,著名物理学家麦克斯韦曾说:“借助类比,我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式”在新事物面前,人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比这里蕴含的思想方法就是类比【例 2】a、b、c 分别是 ABC的三边的
3、长,且cbababa,则它的内角A、B的关系是()精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 1 页,共 9 页 -第2页(共 9页)A B2A B B=2A C BAE)(1)AEF与 EFC是否相似,若相似,证明你的结论,若不相似,请说明理由;(2)设kBCAB,是否存在这样的k 值,使 AEF 与BFC 相似?若存在,证明你的结论并求出k 的值:若不存在,说明理由(重庆市中考题)思路点拨本例是一道存在性探索问题,对于(2),假设存在,则RtAEF与 RtBFC中有一对锐角相等,怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手,逆推求出k 的值【例 5】如图,ABC和 AlBlC1均为正三角形
4、,BC和 B1C1的中点均为D求证:AA1CC1(重庆市竞赛题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 2 页,共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D
5、3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK
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7、0Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文
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9、3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R
10、7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2第3页(共 9页)思路点拨作出等边三角
11、形最基本的辅助线,并延长 AAl交 CCl于 E,寻找相似三角形,证明 A=90注 比例 线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型基本证法有:(1)从相似三角形入手;(2)利用平行截割定理有时需根据要证明的式子,过恰当的点作平行线,在具体证明过程中,常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换,以促使问题的转化将问题置于几何问题的背景中探索,要综合运用几何代数知识,多角度思考尝试,需要注意的是,若题目没有指出具体的对应关系,结论常常具有不确定性,需要分类讨论学力训练 1 如图,由边长为1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC,在网格上,画出一个与ABC相 似 且 面 积 最 大 的
12、 A1BlC1,使 它 的 三 个 顶 点 都 落 在 小 正 方 形 的 顶 点 上,则 A1BlC1的 面 积是 (泰州市中考题)2如图,在ABC中,AB=15cm,AC=12cm,AD是BAC的外角平分线,DE AB交 AC的延长线于点C,那么 CE=cm (重庆市中考题)3如图,正方形ABCD的边长为2,AE=BE,MN=1,线段 MN 的两端点在CB、CD上滑动,当CM=时,AED与以 M、N、C为顶点的三角形相似 (桂林市中考题)4如图,在正方形ABCD 中,E 是 BC的中点,F 是 CD上一点,AE EF,有下列结论:BAE=30;CE2=ABCF;CF=31CD;ABE AE
13、F 其中正确结论的序号是 (黄冈市中考题)5如图,在ABC中,BAC=90,D是 BC中点,AEAD交 CB延长线于点E,则结论正确的是()A AEDt ACD B AEB ACD C BAE ACE D AEC DAC(江苏省竞赛题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 3 页,共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T
14、9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1
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20、HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2第4页(共 9页)6如图,梯形ABCD 中,AD BC,ABC=90,对角线ACBD于 P,若43BCAD,则ACBD的值是()A23 B32 C 33 D 43 (2000年绍兴市中考题)7如图,将 ADE绕正方形ABCD 的顶点 A顺时针旋转90,得 ABF,连结 EF交 AB于 H,则下列结论错误的是()AAEAF B EF:AF=1:2 C AF2=FH FE DECHBFCBF(黑龙江省中考题)8如图,在等边ABC中,P 为 BC上一点,D 为 AC上
21、一点,且 APD=60,BP=1,CD 32,则 ABC的边长为()A3 B4 C5 D 6 (黑龙江省中考题)9已知:正方形的边长为1 (1)如图,可以算出一个正方形的对角线长为2,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长,并猜想出 n 个正方形并排拼成的矩形的对角线长 (2)根据图,求证:BCK BED (3)由图,在下列所给的三个结论中,选出一个正确的结论加以证明:BEC+BDE=45;BEC+BED=45;BEC+DFE=45 精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 4 页,共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ
22、3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R
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