人教出版高一数学必修一-第一章-考点与~习题讲解.doc
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1、|必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示知识要点:1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ ”括起来,基本形式为 ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,123,na即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为 ,既要关注代表元素 x,也要|()xAP把握其属性 ,适用于无限集.()Px3. 通常用大写拉丁字母 表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集,ABCN,正整数集 或 ,整数集 Z,有理数集 Q,实
2、数集 R.*N4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to)与不属于( not belong to) ,分别用符号 、表示,例如 , .32例题精讲:【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)由方程 的所有实数根组成的集合;2(3)0x(2)大于 2 且小于 7 的整数.解:(1)用描述法表示为: ;2|(3)0xRx用列举法表示为 .,1(2)用描述法表示为: ;|7Z用列举法表示为 .3,456【例 2】用适当的符号填空:已知 , ,则有:|32,AxkZ|61,BxmZ17 A; 5 A; 17 B.解:由 ,解得 ,所以 ;317kkZ17由 ,解得 ,所以 ;235
3、由 ,解得 ,所以 .6m【例 3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材 P6 练习题 2, P13 A 组题 4)(1)一次函数 与 的图象的交点组成的集合; yx26yx(2)二次函数 的函数值组成的集合;24(3)反比例函数 的自变量的值组成的集合.解:(1) .3(,)|(1,)26yx(2) .2|4|4y(3) .0xx点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为,也注意对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质1,4上不同,分析时一定要细心.2ABBAABABA B C D*【例 4】已知集合 ,试用列举法表示集合 A2|
4、1xaA有 唯 一 实 数 解解:化方程 为: 应分以下三种情况:21xa()0方程有等根且不是 :由 =0,得 ,此时的解为 ,合94a12x方程有一解为 ,而另一解不是 :将 代入得 ,此时另一解22xa,合12x方程有一解为 ,而另一解不是 :将 代入得 ,此时另一解为2,合综上可知, 9,4A点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系知识要点:1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有包含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集(subs
5、et) ,记作 (或 ) ,AA读作“A 含于 B”(或“ B 包含 A”).2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( ) ,即集合A 与集合 B 的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 . 3. 如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集xx(proper subset) ,记作 A B(或 B A).4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ,并规定空集是任何集合的子集.5. 性质: ;若 , ,则 ;C若 ,则 ;若 ,则 .BA例题精讲:【例 1】用适当的符号填空:(1) 菱形 平行四边
6、形; 等腰三角形 等边三角形.(2) ; 0 0; 0; N 0.2|xR解:(1) , ;(2)=, , , .【例 2】设集合 ,则下列图形能表示 A 与 B 关1, ,22| |nxnZZ系 的是( ).解:简单列举两个集合的一些元素, ,313,0,22,31,2B|易知 B A,故答案选 A另解:由 ,易知 B A,故答案选 A21,|nxZ【例 3】若集合 ,且 ,求实数 的值.2|60,|10MxNxaNMa解:由 ,因此, .2603x或 2,3M(i)若 时,得 ,此时, ;aN(ii)若 时,得 . 若 ,满足 ,解得 .1aa或 123a或故所求实数 的值为 或 或 .0
7、23点评:在考察“ ”这一关系时,不要忘记 “ ” ,因为 时存在 . 从ABAB而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b,B= a,ax,ax2. 若 A=B,求实数 x 的值.解:若 a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1.2abx当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去;当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去 .若 2ax2-ax-a=0.b因为 a0,所以 2x2-x-1=0, 即(x -1)(2x+1)=0. 又 x1,所以只有 .12x经检验,此时 A=B 成立. 综
8、上所述 .2点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算(一)知识要点:集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集 交集 补集概念由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A与 B 的并集(union set)由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集(intersection set)对于集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集
9、合,称为集合A 相对于全集 U 的补集(complementary set)记号 (读作“A 并 B”)(读作“A 交 B”)(读作 “A 的补集” )U符号 |,x或 |,x且 |,x且4图形表示例题精讲:【例 1】设集合 .,|15,|39,()UURAxBxAB求 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示:,|35ABx,()1,9UC或【例 2】设 , ,求:|6Zx1,23,456C(1) ; (2) .()()AB解: .6,54,3,0,45,6A(1)又 , ;BC()3(2)又 ,1,2,6得 .()54310A .,2,【例 3】已知集合 , ,且 ,求实数 m 的取值范
10、围.|Ax|BxmAB解:由 ,可得 .B在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示:由图形可知, .4m点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题.【例 4】已知全集 , , ,求 ,*|10,UxN且 2,458A1,358B()UCAB, , ,并比较它们的关系. ()UCAB()CB()UACB解:由 ,则 .1,2345,8()6,79由 ,则(),23U由 , ,,679U则 ,(),CAB.1234,由计算结果可以知道, ,()()UUCABA.()UU另解:作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果
11、.点评:可用 Venn 图研究 与 ,在理解的()()UUC()()UUCBA基础记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算(二)知识要点:1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形,我们还可以发现一些集合性质: , .()()UUCABCB()()UUACBUA-2 4 m xB A 4 m xA B-1 3 5 9 x|2. 集合元素个数公式: .()()()nABnAB3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数
12、形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.例题精讲:【例 1】设集合 ,若 ,求实数 的值.24,1,9,51aa9a解:由于 ,且 ,则有:2,ABAB当 解得 ,此时 ,不合题意,故舍去;29 a 时 , 5 =4, =9, 04A , 当 时,解得 . 3 或 不合题意,故舍去;3 =4, 9, 时 , , ,合题意.7 8, , , , 所以, .a 【例 2】设集合 , ,求 , |(3)0,AxaR|(4)10BxAB.(教材 P14 B 组题 2)AB解: .1,4当 时, ,则 , ;3a1,4A当 时, ,则 , ;,33B1当 时, ,则 , ;A,4B当 且 且 时,
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