线性代数自考~考点汇总.doc
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1、|行列式 1. 行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 . T D D 性质 2 互换行列式的两行(列) ,行列式变号. 推论 1 如果行列式有两行(列)的对应元素完全相同,则此行列式的值为零. 如 a b c a b c 0 a b c 性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式. 如 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a 推论 2 如果行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值为零
2、 如 a b c a b c 0 ka kb kc 性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和. 如 11 12 13 11 12 13 11 12 13 21 21 22 22 23 23 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 性质 5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的 值不变. 如 11 12 13 11 12 13 21 22
3、23 21 22 23 31 32 33 31 11 32 12 33 13 a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka 2. 余子式与代数余子式 在 n阶行列式中,把元素 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 的余子 ij a ij a 式,记作 , 叫做元素 的代数余子式 ij M i j ij ij A ( 1) M ij a 如 ,元素 的余子式为 , 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 23 a 11 12 23 31 32 a a M a a 元素
4、的代数余子式为 . 23 a 11 12 2 3 23 23 31 32 a a A ( 1) M a a 3. 行列式按行(列)展开法则|定理 1 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 或 1 1 2 2 i i i i in in D a A a A a A 1 1 2 2 j j j j nj nj D a A a A a A 1,2, , ; 1,2 i n j n 如 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 11 12 12 13 13 a A a A a A 定理 2 行列式任一行(列)的元素
5、与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 或 1 2 1 2 0, j j i i jn i n a A a A a A , 1 1 2 2 0 . j j j j nj nj a A a A a A i j 1,2, , ; 1,2 i n j n 4. 行列式的计算 (1)二阶行列式 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a (2)三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
6、a a a a a a a a a a a a a a a a a a (3)对角行列式 , 1 2 1 2 n n n( m 1 ) 2 1 2 1 2 n n ( 1) (4)三角行列式 11 11 12 1n 21 22 22 2n 11 22 nn n1 n2 nn nn a a a a a a a a a a a a a a a 11 1,n 1 1n 1n n( n 1 ) 21 2,n 1 2,n 1 2n 2 1n 2,n 1 n1 n1 n1 n2 nn a a a a a a a a ( 1) a a a a a a a (5)消元法:利用行列式的性质,将行列式化成三角行列
7、式,从而求出行列式的值. (6)降阶法:利用行列式的性质,化某行(列)只有一个非零元素,再按该行(列)展开,通过降低 行列式的阶数求出行列式的值. (7)加边法:行列式每行(列)所有元素的和相等,将各行(列)元素加到第一列(行) ,再提出公 因式,进而求出行列式的值. 矩阵|1. 常见矩阵 1)对角矩阵:主对角线以外的元素全为 0的方阵,称为对角矩阵.记作. 2)单位矩阵:主对角线上的元素全为 1的对角矩阵,称为单位矩阵.记作 E. 3)上三角矩阵:对角线以下的元素全为 0的方阵.如 11 12 1n 22 2n nn a a a a a a 4)下三角矩阵:对角线以上的元素全为 0的方阵.如
8、 11 21 22 n1 n2 nn a a a a a a 5)对称矩阵:设 A 为阶方阵,若 ,即 ,则称 A 为对称矩阵. T A A ij ji a a 6)反对称矩阵:设 A 为阶方阵,若 ,即 ,则称 A 为反对称矩阵. T A A ij ji a a 7)正交矩阵:设 A 为阶方阵,如果 或 ,则称 A 为正交矩阵. T AA E T A A E 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 (1)矩阵的加法 如 a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f 注: 只有同型矩阵才能进行加减运算; 矩阵相加减就是对应元素相加减. (2)数乘矩阵
9、 如 a b c ka kb kc k d e f kd ke kf 注:数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素. (3)矩阵的乘法:设 ,规定 ij m ij n s s A ( a ) ,B ( b ) ij m n AB C ( c ) , 其中 s ij i1 1 j i2 2 j is sj ik kj k 1 c a b a b a b a b ( i 1,2 , ,m, j 1,2 , ,n.) 注:左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数; 左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C 的元素 . ij c 左矩阵 A 的行数为乘积 C 的行数,右
10、矩阵 B 的列数为乘积 C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵(即一个数) ,即| 11 21 11 12 1s 11 11 12 21 1s s1 s1 b b a a a a b a b a b b 列矩阵乘行矩阵是 s 阶方阵,即 11 11 11 11 12 11 1s 21 21 11 21 12 21 1s 11 12 1s s1 s1 11 s1 12 s1 1s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b 3. 逆矩阵 设 n 阶方阵 A、B,若 AB=E 或 BA=E,则 A,B 都可逆,且 . 1 1 A B,B A (
11、1)二阶方阵求逆,设 ,则 (两调一除法). a b A c d 1 * d b 1 1 A A c a A ad bc (2)对角矩阵的逆 , 1 1 1 1 1 2 2 1 n n a a a a a a . 1 1 1 n 2 1 2 1 n 1 a a a a a a (3)分块对角阵的逆 1 1 1 1 1 2 2 1 s s A A A A ; A A . 1 1 1 s 2 1 2 1 s 1 A A A A A A (4)一般矩阵求逆,初等行变换的方法: . ERT 1 A E E A 4. 方阵的行列式 由阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)叫做方阵 A 的行
12、列式.记作 或 det(A). A 5. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:|(1)互换两行(列) ;(2)数乘某行(列) ;(3)某行(列)的倍数加到另一行(列). 6. 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵. 如 都是初等矩阵. 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 k 0 , 0 1 0 1 0 0 0 0 1 k 0 1 7. 矩阵的秩 矩阵 A 的非零子式的最高阶数,称为矩阵 A 的秩.记作 R(A)或 r(A). 求矩阵的秩的方法: (1)定义法:找出 A 中最高阶的非零子式, 它的阶数即为 A 的秩. (2)初等行变换
13、法: 行阶梯形矩阵,R(A)=R(行阶梯形矩阵)=非零行的行数. ERT A 8. 重要公式及结论 (1)矩阵运算的公式及结论 1 2 1 2 1 2 1 2 k k k k k k k k k k k k k k 1 0 A B B A, ( A B ) C A ( B C ), ( A B ) A B ( AB )C A( BC ), ( A B )C AC BC , ( AB ) ( A )B A( B ) A A A , ( A ) A , ( A ) A , E E AB A BA B , EA AE A, A E T T T T T T T T T T T T n T n n A
14、A, ( A B ) A B , A A , AB B A A A , AB B A , AA A A A E A A , A A , AB A B BA , A A , A B A B 矩阵乘法不满足交换律,即一般地 ABAB; 矩阵乘法不满足消去律,即一般地若 AB=AC,无 B=C;只有当 A 可逆时,有 B=C. 一般地若 AB=O,则无 A=O 或 B=O. . 2 2 2 A B ? A 2AB B A (2)逆矩阵的公式及定理 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 k 1 k 1 T 1 1 T 1 A A, A A , , A A 1 A A , A A ,
15、A A , A A A B B A 1 A A A A A A A , A A 可逆 |A|0 AE(即 A 与单位矩阵 E 等价) (3)矩阵秩的公式及结论 T m n R( O ) 0 , R( A ) min m,n , R( A ) R( A ),R( kA ) R( A ),k 0 A 0 R( A ) n , R A B R A R B R( AB ) R( A ), R( AB ) R( B ).|特别地,当 A 可逆时,R(AB)=R(B);当 B 可逆时,R(AB)=R(A).即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩. ET A B A B R A R B 9. 矩阵方程
16、(1)设 A 为 n阶可逆矩阵,B 为 nm 矩阵,则矩阵方程 AX=B 的解为 ; 1 X A B 解法: 求出 ,再计算 ; 1 A 1 A B . ERT A B E X (2)设 A 为 n阶可逆矩阵,B 为 mn矩阵,则矩阵方程 XA=B 的解为 ; 1 X BA 解法: 求出 ,再计算 ; 1 A 1 BA . ECT A E B X 10. 矩阵间的关系 (1)等价矩阵:如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B,那么称矩阵 A 与 B 等价. 即存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B. 性质:等价矩阵的秩相等. (2)相似矩阵:如果存在可逆矩阵 P,使得 ,那么称 A 与 B
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