20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.1 三角函数定义及运用(解析版).docx
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1、第一讲三角函数的定义及运用【套路秘籍】-始于足下始于足下一任意角(1)角的不雅观点的履行按改变倾向差异分为正角、负角、零角按终边位置差异分为象限角跟轴线角(2)终边一样的角终边与角一样的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规那么:正角的弧度数为负数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径弧度与角度的换算:3602rad;180rad;1rad;1rad度弧长公式:l|r.二任意角的三角函数1.定义:在破体直角坐标系中,设的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r0)那么sin
2、,cos,tan(x0)2.三角函数在每个象限的正负如下表:三角函数第一象限标志第二象限标志第三象限标志第四象限标志sincostan3.三角函数线如以以下图,设角的终边与单位圆交于点P,过P作PMx轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线订交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线【修炼套路】-为君聊赋往日诗,努力请从往日始考向一角度值、弧度制、终边一样角【例1】1sin53的值为A -12B-32C12D3222100的弧度数是A353B10C283D2533角=-60+k180(kZ)的终边落在A第四象限B第一、二象限
3、C第一象限D第二、四象限【答案】1B2A3D【分析】1由题意可得:sin53=sin2-3=-sin3=-32.应选:B.2由题意得2100=2100180=353,应选A.3令k=0,=-60,在第四象限;再令k=1,=120,在第二象限答案选D【套路总结】1.弧度与角度的换算:3602rad;180rad;1rad;1rad度2.终边与角一样的角可写成k360(kZ)【举一反三】1角870的终边所在的象限是第_象限【答案】三【分析】由8701080210,知870角跟210角的终边一样,在第三象限2.假设角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-3x上,那么角的取值聚拢是
4、A|=2k-3,kZB|=2k+23,kZC|=k-23,kZD|=k-3,kZ【答案】D【分析】由于直线y=-3x的倾歪角是23,因此终边落在直线y=-3x上的角的取值聚拢为|=k-3,kZ或者|=k+23,kZ.应选D.3已经清楚A=第一象限角,B=锐角,C=小于90的角,那么A,B,C的关系是AB=ACBBC=CCABCDA=B=C【答案】B【分析】A=第一象限角=|k360k360+90,kZ;B=锐角=|090;C=小于90的角=|0)那么sin,cos,tan(x0)【举一反三】1在破体直角坐标系中,是角终边上的一点,那么ABCD【答案】B【分析】由于是角终边上的一点,因此由三角函
5、数定义得,因此应选:B2.已经清楚角的终边经过点P(x,6),且tan,那么x的值为_【答案】10【分析】按照三角函数的定义,得tan,因此x10.3已经清楚角的终边过点P(8m,6sin30),且cos,那么m的值为_【答案】【分析】由题意得点P(8m,3),r,因此cos,解得m,又cos0,因此8m0,因此m.4假设角的终边与直线y3x重合,且sin0,又P(m,n)是角终边上一点,且OP,那么mn_.【答案】2【分析】由已经清楚tan3,n3m,又m2n210,m21.又sin0,m1,n3.故mn2.5点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针倾向运动弧长到达Q点,那么Q点的坐标为_【答案
6、】【分析】点P改变的弧度数也为,由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)称心xcos,ysin.考向三三角函数正负揣摸【例3】1假设sin0且tan0,那么角的终边可以位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)设是第三象限角,且cos,那么是第_象限角【答案】1D2二【分析】1由sin0,那么角为位于第三、四象限,又由tan0,那么角为位于第二、四象限,因此角为位于第四象限,应选D2由是第三象限角知,为第二或第四象限角,cos,cos0,sincos0,sin0,cos0或sin0,cos0,cos0时,为第一象限角,当sin0,cos0时,为第三象限角sincos0,为第三象限角2假设
7、是第三象限角,那么y_.【答案】0【分析】由于是第三象限角,因此是第二或第四象限角当是第二象限角时,y110;当是第四象限角时,y110.综上可知,y0.考向四三角函数线运用【例4】(1)称心cos的角的聚拢是_(2)假设,从单位圆中的三角函数线不雅观看sin,cos,tan的大小关系是_【答案】12sincostan【分析】1作直线x交单位圆于C,D两点,贯串连接OC,OD,那么OC与OD围成的地域(图中阴影部分)即为角终边的范围,故称心条件的角的聚拢为.2如图,作出角的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,不雅观看可知sincoscosx成破的x的取值范围是_【答案】【分析】当x时,sinx
8、0,cosx0,显然sinxcosx成破;当x时,如图,OA为x的终边,现在sinxMA,cosxOM,sinxcosx;当x时,如图,OB为x的终边,现在sinxNB,cosxON,sinxcosx同理当x时,sinxcosx;当x时,sinxcosx.2函数y的定义域为_【答案】,kZ【分析】运用三角函数线(如图),由sinx,可知2kx2k,kZ.考向五弧度制及其运用【例5】1已经清楚一扇形的圆心角为,半径为R,弧长为l.假设,R10cm,求扇形的面积(2)假设例题条件波动,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积(3)假设例题条件改为:“假设扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多少多弧度时,谁
9、人扇形的面积最大年夜?【答案】1)(2)(3)2rad.【分析】(1)由已经清楚得,R10cm,S扇形R2102(cm2)(2)lR10(cm),S弓形S扇形S三角形lRR2sin10102(cm2)(3)由已经清楚得,l2R20,那么l202R(0R10)因此SlR(202R)R10RR2(R5)225,因此当R5cm时,S取得最大年夜值25cm2,现在l10cm,2rad.【套路总结】运用弧度制处置征询题的方法(1)运用扇形的弧长跟面积公式解题时,要留心角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大年夜值的征询题时,常转化为二次函数的最值征询题(3)在处置弧长征询题跟扇形面积征询题时,要公正地运用
10、圆心角所在的三角形【举一反三】1.已经清楚扇形的圆心角为a,所在圆的半径为r.1假设a=120,r=6,为扇形的弧长.2假设扇形的周长为24,当a为多少多弧度时,该扇形面积S最大年夜?并求出最大年夜面积.【答案】1l=42a=2,S有最大年夜值36【分析】1a=1200=120180=23,r=6,l=r=236=42设扇形的弧长为l,那么l+2r=24,即l=24-2r0r12,扇形的面积S=12lr=12(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,因此当且仅事前r=6,S有最大年夜值36,现在l=24-26=12,=lr=126=2.2已经清楚周长为定值的扇形,当其面积最大年夜
11、时,向其内任意投点,那么点落在内的概率是_【答案】【分析】设扇形周长为,半径为,那么弧长.因此扇形的面积,因此当且仅事前,扇形的面积的最大年夜值为,现在扇形的弧长为,故现在扇形的圆心角为,因此,点落在内的概率为,当扇形的面积最大年夜时,向其内任意掷点,该点落在内的概率是,故答案为.考向六古书中的数学【例6】九章算术是我国古代数学成果的杰出代表作,其中“方田章给出了打算弧田面积时所用的阅历公式,即弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图1)由圆弧跟其所对弦围成,公式中“弦指圆弧所对弦长,“矢等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径为3米的弧田,如图2所示按照上述阅历公式打算所得弧田面历年夜概是_
12、平方米(结果保管整数,1.73)【答案】5【分析】如题图2,由题意可得AOB,OA3,因此在RtAOD中,AOD,DAO,ODAO3,可得CD3,由ADAOsin3,可得AB2AD3.因此弧田面积S(弦矢矢2)5(平方米)【举一反三】1九章算术是我国古代数学成果的杰出代表,弧田是中国古算名,即圆弓形,最早的文字记载见于九章算术方田章.如以以下图,正方形中阴影部分为两个弧田,每个弧地步点圆的圆心均为该正方形的一个顶点,半径均为该正方形的边长,那么在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为ABCD【答案】A【分析】设正方形的边长为那么一个弧田的面积为因此两个弧田的面积为因此在该正方形内随
13、机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为因此选A2“圆材埋壁是九章算术中的一个征询题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,学会一寸,锯道长一尺,征询径多少多何?其意为:今有一圆柱形木柴,埋在墙壁中,不清楚大小,用锯取锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,征询这块圆柱形木柴的直径是多少多?现有圆柱形木柴一部分埋在墙壁中,截面如以以下图,已经清楚弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,那么阴影部分面积约为注:3.14,sin22.5513,1尺=10寸A6.33平方寸B6.35平方寸C6.37平方寸D6.39平方寸【答案】A【分析】连接OC,设半径为r,AD=5寸,那么OD=r-1在直角三角形OAD中,OA2
14、=AD2+OD2即r2=52+r-12,解得r=13那么sinAOC=513,因此AOC=22.5那么AOB=222.5=45因此扇形OAB的面积S1=45132360=1698=66.33三角形OAB的面积S2=121012=60因此阴影部分面积为S1-S2=66.33-60=6.33因此选A【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1与2019终边一样的角是()A37B-37C-37D-141【答案】D【分析】终边一样的角相差了360的整数倍,设与2019角的终边一样的角是,那么=2019+k360,kZ,事前k=-6,=-141应选:D23弧度的角是A第一象限角B第二象限角C第三象限角
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