2022年1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 .pdf
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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学目的:1、掌握正弦函数和余弦函数的性质;2、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3、了解从特殊到一般,从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。教学重点、难点重点:正、余弦函数的性质难点:正、余弦函数性质的理解与应用教学过程:一、复习引入:1y=sinx,xR和 y=cosx,xR的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线-11yx-6-565-4-3-2-0432f x =sin x-11yx-6-565-4-3-2-0432f x =cos x2.正弦函数y=sinx,x0,2的图象中,五个关键点是:
2、(0,0)(2,1)(32,-1)(2,0)余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(32,0)(2,1)二、讲授新课:1定义域:正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(,),分别记作:y sinx,xR ycosx,x R 2值域正弦函数、余弦函数的值域都是1,1。其中正弦函数y=sinx,xR 当且仅当x22k,kZ 时,取得最大值1。当且仅当x22k,kZ 时,取得最小值1。而余弦函数ycosx,xR 当且仅当x2k,kZ 时,取得最大值1。当且仅当x(2k 1),kZ时,取得最小值1。3周期性一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得
3、当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x T)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。1 周期函数 x定义域 M,则必有 x+T M,且若 T0 则定义域无上界;T0则定义域无下界;2“每一个值”只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+t)f(x0))3 T往往是多值的(如y=sinx 2,4,-2,-4,都是周期)周期T中最小的正数叫做 f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k(k Z且
4、k0)都是它的周期,最小正周期是2。4奇偶性ysinx 为奇函数,ycosx 为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y 轴对称5单调性正弦函数在每一个闭区间22k,22k(k Z)上都是增函数,其值从1增大到 1;在每一个闭区间22k,232k(k Z)上都是减函数,其值从1 减小到 1。余弦函数在每一个闭区间(2k 1),2k(k Z)上都是增函数,其值从1 增加到 1;在每一个闭区间2k,(2k 1)(k Z)上都是减函数,其值从1减小到 1。三、典型例题例 1、求下列函数的周期:(1)y 3cosx,xR;(2)y sin2x,xR;(3)y 2sin(21x6),xR。解:(1)
5、y cosx 的周期是2只有 x 增到 x2时,函数值才重复出现文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1
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11、J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7y3cosx,xR的周期是2(2)令 Z2x,那么 xR必须并且只需ZR,且函数ysinZ,ZR的周期是2即 Z2 2x2 2(x )。只有当 x 至少增加到x,函数值才能重复出现ysin2x 的周期是(3)令 Z21x6,那么 xR必须并且只需ZR,且函数y2sinZ,ZR的周期是2,由于Z2
12、(21x6)221(x 4)6,所以只有自变量x 至少要增加到x4,函数值才能重复取得,即T 4是能使等式2sin 21(x T)6 2sin(21x6)成立的最小正数从而 y2sin(21x6),x R的周期是4小结:从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关一般地,函数yAsin(x),xR及函数 yAcos(x),x R(其中 A、为常数,且A0,0)的周期 T2根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对于上述例子:(1)T 2,(2)T 22,(3)T 221 4例 2、不通过求值,指出下列各式大于0 还是小于0(1)sin(18)sin(10);(2)
13、cos(523)cos(417)解:(1)210182且函数 ysinx,x2,2是增函数sin(10)sin(18)即 sin(18)sin(10)0 文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I1Y2G1 ZO2Z9J9I7C7文档编码:CU6J5I1H2D9 HZ2S3I
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