高考数学(理)一轮复习讲义8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.docx
《高考数学(理)一轮复习讲义8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学(理)一轮复习讲义8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.docx(15页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、8.7立体几多何中的向量办法(一)证明平行与垂直最新考纲考情考向分析1.理解直线的倾向向量及立体的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行跟垂直关系.3.能用向量办法证明立体几多何中有关线面位置关系的一些庞杂定理.运用空间向量证明空间中的位置关系是近多青年高考重点调查的内容,涉及直线的倾向向量,立体的法向量及空间直线、立体之间位置关系的向量表示等外容.以解答题为主,要紧调查空间直角坐标系的树破及空间向量坐标的运算才干及运用才干,偶尔也以探究论证题的办法出现.1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A跟一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量ta,那么此向量方程叫做
2、直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的倾向向量.(2)对空间任一判定的点O,点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t,称心等式(1t)t,叫做空间直线的向量参数方程.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1跟l2的倾向向量分不为v1跟v2,那么l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的倾向向量为v,与立体共面的两个不共线向量v1跟v2,那么l或l存在两个实数x,y,使vxv1yv2.(3)设直线l的倾向向量为v,立体的法向量为u,那么l或lvu.(4)设立体跟的法向量分不为u1,u2,那么u1u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1跟l2的倾向向量分不为
3、v1跟v2,那么l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的倾向向量为v,立体的法向量为u,那么lvu.(3)设立体跟的法向量分不为u1跟u2,那么u1u2u1u20.不雅念办法微思索1.直线的倾向向量怎么样判定?提示l是空间不时线,A,B是l上任意两点,那么及与平行的非零向量均为直线l的倾向向量.2.怎么样判定立体的法向量?提示设a,b是立体内两不共线向量,n为立体的法向量,那么求法向量的方程组为题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)直线的倾向向量是唯一判定的.()(2)立体的单位法向量是唯一判定的.()(3)假设两立体的法向量平行,那么两立体平行.()(4)假设
4、两直线的倾向向量不平行,那么两直线不平行.()(5)假设ab,那么a所在直线与b所在直线平行.()(6)假设空间向量a平行于立体,那么a所在直线与立体平行.()题组二讲义改编2.设u,v分不是立体,的法向量,u(2,2,5),当v(3,2,2)时,与的位置关系为_;当v(4,4,10)时,与的位置关系为_.答案分析当v(3,2,2)时,uv(2,2,5)(3,2,2)0.当v(4,4,10)时,v2u.3.如以下列图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,那么直线ON,AM的位置关系是_.答案垂直分析以A为原点,分不以,所在直线
5、为x,y,z轴树破空间直角坐标系,如以下列图.设正方体的棱长为1,那么A(0,0,0),M,O,N,0,ON与AM垂直.题组三易错自纠4.直线l的倾向向量a(1,3,5),立体的法向量n(1,3,5),那么有()A.lB.lC.l与歪交D.l或l答案B分析由an知,na,那么有l,应选B.5.已经清楚立体,的法向量分不为n1(2,3,5),n2(3,1,4),那么()A.B.C.,订交但不垂直D.以上均差错答案C分析n1n2,且n1n22(3)315(4)230,既不平行,也不垂直.6.已经清楚A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),那么以下向量是立体ABC法向量的是()A.(1
6、,1,1)B.(1,1,1)C.D.答案C分析设n(x,y,z)为立体ABC的法向量,(1,1,0),(1,0,1),那么化简得xyz.应选C.题型一运用空间向量证明平行征询题例1如以下列图,立体PAD立体ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F,G分不是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB立体EFG.证明立体PAD立体ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD,AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分不为x轴、y轴、z轴,树破如以下列图的空间直角坐标系Axyz,那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
7、D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).(2,0,2),(0,1,0),(1,1,1),设st,即(2,0,2)s(0,1,0)t(1,1,1),解得st2,22,又与不共线,与共面.PB立体EFG,PB立体EFG.引申探究假设本例中条件波动,证明立体EFG立体PBC.证明(0,1,0),(0,2,0),2,BCEF.又EF立体PBC,BC立体PBC,EF立体PBC,同理可证GFPC,从而得出GF立体PBC.又EFGFF,EF,GF立体EFG,立体EFG立体PBC.思维升华运用空间向量证明平行的办法线线平行证明两直线的倾向向量共线线面平行证明该
8、直线的倾向向量与立体的某一法向量垂直;证明直线的倾向向量与立体内某直线的倾向向量平行面面平行证明两立体的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行征询题跟踪训练1如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC90.点D,E,N分不为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PAAC4,AB2.求证:MN立体BDE.证明如图,以A为原点,分不以,的倾向为x轴、y轴、z轴的正倾向树破空间直角坐标系.由题意,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(0,2,0),(2,0,2).设n(x
9、,y,z)为立体BDE的一个法向量,那么即不妨设z1,可得n(1,0,1).又(1,2,1),可得n0.由于MN立体BDE,因而MN立体BDE.题型二运用空间向量证明垂直征询题命题点1证明线面垂直例2如以下列图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1立体A1BD.证明办法一设立体A1BD内的任意一条直线m的倾向向量为m.由共面向量定理,那么存在实数,使m.令a,b,c,显然它们不共面,同时|a|b|c|2,abac0,bc2,以它们为空间的一个基底,那么ac,ab,ac,mabc,m(ac)4240.故m,结论得证.办法二取BC的
10、中点O,连接AO.由于ABC为正三角形,因而AOBC.由于在正三棱柱ABCA1B1C1中,立体ABC立体BCC1B1,且立体ABC立体BCC1B1BC,AO立体ABC,因而AO立体BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,分不以OB,OO1,OA所在直线为x轴、y轴、z轴树破空间直角坐标系,如以下列图,那么B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).设立体A1BD的一个法向量为n(x,y,z),(1,2,),(2,1,0).由于n,n,故即令x1,那么y2,z,故n(1,2,)为立体A1BD的一个法向量,而(1,2,),因而n,因而n,故AB
11、1立体A1BD.命题点2证明面面垂直例3如图,已经清楚AB立体ACD,DE立体ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB.求证:立体BCE立体CDE.证明设ADDE2AB2a,以A为原点,分不以AC,AB所在直线为x轴,z轴,以过点A垂直于AC的直线为y轴,树破如以下列图的空间直角坐标系Axyz,那么A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).因而(a,a,a),(2a,0,a),(a,a,0),(0,0,2a).设立体BCE的法向量为n1(x1,y1,z1),由n10,n10可得即令z12,可得n1(1,2).设立体CDE的法向量为n2(x2
12、,y2,z2),由n20,n20可得即令y21,可得n2(,1,0).由于n1n211()200.因而n1n2,因而立体BCE立体CDE.思维升华运用空间向量证明垂直的办法线线垂直证明两直线所在的倾向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的倾向向量与立体的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个立体的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2如以下列图,已经清楚四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,正面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)立体PAD立体PAB.证明(1)取BC的中点O,连接PO,立体P
13、BC底面ABCD,PBC为等边三角形,立体PBC底面ABCDBC,PO立体PBC,PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,树破空间直角坐标系,如以下列图.不妨设CD1,那么ABBC2,PO,A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,),(2,1,0),(1,2,).(2)1(1)(2)0()0,PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,那么M.,(1,0,),100()0,即DMPB.10(2)()0,即DMPA.又PAPBP,PA,PB立体PAB,DM立体PAB.DM立体PAD,立体PAD立体
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学理一轮复习讲义 8.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直 高考 数学 一轮 复习 讲义 8.7 立体几何 中的 向量 方法 证明 平行 垂直
限制150内