一元线性回归原理.ppt
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1、一元线性回归原理一元线性回归原理(一)问题的提出(一)问题的提出例例1 1 假定需要研究化肥施用量与粮食产量的关系,以便准确地定出化肥施用量的单位变化如何影响粮食产量的平均单位变化,进而确定合理的化肥施用量。表表1 化肥施用量与粮食化肥施用量与粮食产产量量化肥施用量x(万吨)4541.054541.053637.872287.493056.894883.73779.34021.09粮食产量y(万吨)48526.6948526.6945110.8740753.7943824.5850890.1146370.8846577.91化肥施用量x(万吨)2989.062989.063021.93953.
2、973212.133804.761598.281998.56粮食产量y(万吨)42947.4442947.4441673.2147244.3443061.5347336.7837127.8939515.07化肥施用量x(万吨)3710.563710.563269.031017.121864.232797.241034.09粮食产量y(万吨)46598.0446598.0444020.9234866.9137184.1441864.7733717.78图图1 化肥施用量与粮食产量的散点图化肥施用量与粮食产量的散点图上述变量间关系的特点:1.变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由
3、另一个变量唯一确定3.当变量 x 取某个值时,变量 y 的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围 x xy y问题问题两个变量之间有着密切的关系,但它们之间密切的程度并不能由一个变量唯一确定另一个变量,即它们间的关系是一种非确定性的关系。它们之间到底有什么样的关系呢?u例1中由20组数据,粮食产量与化肥施用量的关系式 是如何得到的?解决方案运用模型来拟合这些数据点。观测值分解成两部分:y=0 0+1 1 x +l一元线性回归模型 x xy y观测项观测项 =+结构项结构项随机项随机项 =+(二)一元线性回归模型1.描描述述因因变变量量 y 如如何何依依赖赖于于自自变变量量 x 和和误误差差项
4、项 的的方程称方程称为为回回归归模型模型2.一元线性回归模型可表示为一元线性回归模型可表示为 y=0 0+1 1 x +y 是是 x 的的线线性函数性函数(部分部分)加上加上误误差差项项线线性部分反映了由于性部分反映了由于 x 的的变变化而引起的化而引起的 y 的的变变化化误差项误差项 是随机变量是随机变量反反映映了了除除 x 和和 y 之之间间的的线线性性关关系系之之外外的的随随机机因因素素对对 y 的影响的影响是不能由是不能由 x 和和 y 之之间间的线性关系所解释的变异性的线性关系所解释的变异性 0 和和 1 称为模型的称为模型的参数参数 x xy y一元线性回归模型 (基本假定)1.因
5、因变变量量x与自与自变变量量y之之间间具有具有线线性关系性关系2.在重复抽在重复抽样样中,自中,自变变量量x的取的取值值是固定的,即假定是固定的,即假定x是是非随机的非随机的3.误误差差项项是一个期望是一个期望值为值为0的随机的随机变变量,即量,即E()=0。对对于于一个一个给给定的定的 x 值值,y 的期望的期望值为值为E(y)=0+1 x4.对对于所有的于所有的 x 值值,的方差的方差2 都相同都相同5.误误差差项项是是一一个个服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量,且且相相互互独独立立。即即N(0,2)独独立立性性意意味味着着对对于于一一个个特特定定的的 x 值值,它它所所对对应应
6、的的与与其其他他 x 值值所所对应对应的的不相关不相关对对于于一一个个特特定定的的 x 值值,它它所所对对应应的的 y 值值与与其其他他 x 所所对对应应的的 y 值值也不相关也不相关回归方程(regression equation)1.描描述述 y 的的平平均均值值或或期期望望值值如如何何依依赖赖于于 x 的的方方程称程称为为回回归归方程方程2.一元一元线线性回性回归归方程的形式如下方程的形式如下 E(y)=0+1 x方方程程的的图图示示是是一一条条直直线线,也也称称为为直线回归方程直线回归方程 0 0是是回回归归直直线线在在 y 轴轴上上的的截截距距,是当是当 x=0 时时 y 的期望值的
7、期望值 1是是直直线线的的斜斜率率,称称为为回回归归系系数数,表表示示当当 x 每每变变动动一一个个单单位位时时,y 的平均变动值的平均变动值 x xy yxy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)问题:回归直线如何确定?Karl Gauss的最小化图x xy y(x xn n,y yn n)(x x1 1,y y1 1)(x x2 2,y y2 2)(x xi i,y yi i)e ei i=y yi i-y yi i目标:找一条直线尽可能的拟合这目标:找一条直线尽可能的拟合这n个样本点。个样本点。(三)最小二乘估计(least-squares estimation)1.1
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