2022年天一专升本高数知识点.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,特殊是图像包含了函数的全部信息;2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数:fxffx ,图像关于原点对称;偶函数:fxx ,图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 , 是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,就(1)如 lim 0,就 是比 高阶的无穷小量;(2)如 lim c(不为 0),就 与 是同阶无穷小量 特殊地,如 lim 1,就 与 是等价无穷小量 (3)如 lim,就 与 是低阶无穷小量记忆方法:看谁趋向于 0 的速度快,谁就趋向于 0 的本事高;4、两个重要极
2、限(1)lim x 0sinxlim x 0xx11lim 0sin0,肯定保证拼凑sin 后面和分母保持一样xsin使用方法:拼凑lim 0sin(2)lim x11xlim x 01xexx1lim 01e使用方法 1 后面肯定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满意条件得拼凑;5、Pnnlim xP nxa0,nmb 00 ,nmQ mX,nmx的最高次幂是n,Qmx的最高次幂是m.,只比较最高次幂, 谁的次幂高, 谁的头大, 趋向于无穷大的速度快;m,以相同的比例趋向于无穷大;nm,分母以更快的速度趋向于无穷大;nm,分子以更快的速度趋向于无穷大;名师归纳总结 - - - - - -
3、-第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、左右极限左极限:lim x x 0fx Alim x x 0fx lim x x 0fx A右极限:lim x x 0fx Alim x x 0fxA 充分必要条件是注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解;8、连续、间断f连续的定义:lim x0ylim x 0fx 0xfx 00或lim x x 0fxfx0间断:使得连续定义lim x x 0fx fx0无法成立的三种情形x0不存在,fx0无意义lim x x 0fx 不存在lim x x 0fxfx0记忆方法: 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存
4、在,但不相等9、间断点类型(1)、其次类间断点:lim f x 、lim f x 至少有一个不存在x x 0 x x 0(2)、第一类间断点:lim f x 、lim f x 都存在x x 0 x x 0可去间断点:lim f x lim f x x x 0 x x 0跳动间断点:lim f x lim f x x x 0 x x 0注:在应用时,先判定是不是“ 其次类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“ 其次类” 然后再判定是不是第一类间断点;左右相等是“ 可去”,左右不等是“ 跳动”10、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理:假如fx在a,b上连续,就fx在a,b上必有最大值最小值;a,
5、b内至少存在一点(2)零点定理:假如fx在a,b上连续,且fa f b0,就fx在,使得f0第三讲中值定理及导数的应用1、 罗尔定理名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如函数yfx满意:(1)在闭区间a,b上连续;( 2)在开区间( a,b)内可导; (3)f afb,就在 a,b内至少存在一点,使得f0记忆方法:脑海里记着一幅图:a b 2、 拉格朗日定理假如yfx满意( 1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间( a,b)内可导;就在 a,b内至少存在一点,使得ff b faba脑海里记着一幅图:a b( *)推
6、论1 :假如函数yfx 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且gfx0,那么在 a,b 内fx =C 恒为常数;x ,x a,b,记忆方法:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0;(*)推论 2:假如fx,gx 在a,b上连续,在开区间 a,b 内可导,且fx那么fx gxc记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点满意 f x 0 的点,称为函数 f x 的驻点;几何意义:切线斜率为 0 的点,过此点切线为水平线4、极值的概念设fx 在点0x 的某邻域内有定义,假如对于该邻域内的任一点x,有fxf0x,就称f0x为函数fx的极大值,x,有,就称为函数0x 称为极大值点;fx
7、f0xf0x设fx在点0x 的某邻域内有定义,假如对于该邻域内的任一点第 3 页,共 20 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx的微小值,0x 称为微小值点;记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为微小值;5、 拐点的概念 连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点;注y3x在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设fx在a,b 内可导,假如fx 0,就fx在a,b 内单调增加;假如fx0,就fx 在a ,b内单调削减;ffx0;记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,x0;在图像上凡是和左手向
8、上趋势吻合的,是单调削减,7、 取得极值的必要条件可导函数fx在点0x 处取得极值的必要条件是f0x08、 取得极值的充分条件 第一充分条件:设fx在点0x 的某空心邻域内可导,且fx在0x 处连续,就0x 处取得极大值f0x;(1)假如x0x时,fx0; xx 0 时,fx0,那么fx在(2)在0x 处取得微小值f0x假如x0x时,fx0;xx 0时,fx 0,那么fx (3)假如在点0x 的两侧,fx 同号,那么fx 在0x 处没有取得极值;记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为微小值;其次充分条件:设函数fx在点0x 的某邻域内具有一阶、二阶导数,且f0x0,f
9、0x0就(1)假如f0x0,那么fx 在0x 处取得极大值f0x;(2)假如f0x0,那么fx 在0x 处取得微小值f0x9、 凹凸性的判定设函数fx 在 a,b内具有二阶导数, ( 1)假如f,x 0 ,xa ,b,那么曲线fx在a ,b内凹的;xa ,b,那么fx 在(2)假如fx,0 ab内凸的;图像表现:名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 凹的表现 凸的表现10、渐近线的概念x0x曲线fx 在伸向无穷远处时,能够逐步靠近的直线,称为曲线的渐近线;(1)水平渐近线:如lim xfx A,就yfx有水平渐近线yA
10、2 垂直渐近线:如存在点0x ,lim xfx ,就yfx 有垂直渐近线(2)求斜渐近线:如lim xfxa ,lim xfxaxb,就yaxb为其斜渐近线;x11、罗比达法就遇到“0”、“” ,就分子分母分别求导,直至求出极限;” ;0假如遇到幂指函数,需用fx ln efx把函数变成“0”、“0其次讲导数与微分1、 导数的定义名师归纳总结 ( 1)、fx 0lim x 0fyx0lim x 0fx0x 0x fx00第 5 页,共 20 页( 2)、fx 0lim h 0h fh- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x f x 0 (3)、f x
11、0 lim x x 0 x x 0注:使用时务必保证 0x 后面和分母保持一样,不一样就拼凑;2、 导数几何意义:f 0x 在 x 0x 处切线斜率法线表示垂直于切线,法线斜率与 f 0x 乘积为 1 3、 导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,仍要从右到左记忆;4、 求导方法总结(1)、导数的四就运算法就uvuu2vvuuvuvuvvuvv(2)、复合函数求导:yfdyx是由yfu与ux 复合而成,就dydudxdudx(3)、隐函数求导对于Fx ,y0,遇到 y,把 y 当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法;( 4)、参数方程求导设xt确定一可导函数yfx ,就dydy tdt d
12、xytdx tdtd2yddy dxd dydxdtdx2 dxdxdt5 、对数求导法先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导(6)、幂指函数求导y幂指函数yxux v x,利用公式aelnaelnv exlnux然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可;vxu其次种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注:优选挑选其次种方法;5、 高阶导数对函数fx 多次求导,直至求出;6、 微分dy y dx记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加 dx,不需要
13、单独记忆;7、 可微、可导、连续之间的关系可微 可导可导 连续,但连续不肯定可导8、 可导与连续的区分;脑海里记忆两幅图(1)2在 x=0 既连续又可导;(2)在 x=0 只连续但不行导;yxyx所以可导比连续的要求更高;第四讲 不定积分一、原函数与不定积分1、 原函数:如Fx fx,就Fx 为fx 的一个原函数;fxdxFxC2、 不定积分:fx 的全部原函数Fx +C 叫做fx 的不定积分,记作二、不定积分公式记忆方法:求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、fxdxffx 或dfxdxfxdx2、fxdxxc注:求导与求不定积分互为逆运算;四、积分方法1、 基本积分公式2
14、、 第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆;3、 其次换元积分法名师归纳总结 axb,令taxb第 7 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2x2令xasint,11tan2t2 sect三角代换x2a2令xasec tx2a2令xatant三角代换主要使用两个三角公式:sin2t2 cost4、 分部积分法udvuvvdux i第五讲定积分1、定积分定义bfxdxlim x 0infia1假如fx 在a,b上连续,就fx在a,b上肯定可积;懂得:既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封
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